Dvorazmerje

Dvórazmérje je v matematiki število, ki opisuje medsebojno lego štirih kolinearnih točk.

Ime dvorazmerje izvira iz dejstva, da gre za razmerje dveh razmerij.

Dvorazmerje realnih števil

Realna števila x, y, u in v si lahko predstavljamo kot točke na realni osi. Dvorazmerje teh točk oziroma števil je enako:

$D(x,y,u,v)=\frac{x-u}{y-u}:\frac{x-v}{y-v} \!\, .$

Z isto formulo lahko definiramo tudi dvorazmerje štirih kompleksnih števil.

Dvorazmerje v projektivni geometriji

Dvorazmerje je zelo pomembno v projektivni geometriji, saj se pri projektivnih preslikavah ne spreminja - ostaja invariantno.

Za opis točk na projektivni premici po navadi uporabimo homogene koordinate. Denimo, da imajo štiri točke na projektivni premici naslednje homogene koordinate:

$X(x_1,x_2),\qquad Y(y_1,y_2),\qquad U(u_1,u_2),\qquad V(v_1,v_2) \!\, .$

Dvorazmerje teh štirih točk je potem enako:

$D(X,Y,U,V)=\frac{x_1u_2-x_2u_1}{y_1u_2-y_2u_1}:\frac{x_1v_2-x_2v_1}{y_1v_2-y_2v_1} \!\, .$

Če je dvorazmerje enako −1, rečemo, da točke sestavljajo harmonično četverko.