Krog

Króg je v evklidski geometriji množica vseh točk v ravnini, ki so od določene točke, središča kroga, oddaljene največ za polmer r. Króžnica je množica točk v ravnini, ki so od določene točke oddaljene za polmer r (so enostavne zaključene krivulje, ki delijo ravnino na notranji in zunanji del). Včasih uporabljamo besedo krog za notranji del, krog sam pa imenujemo obseg. Običajno obseg pomeni dolžino kroga, notranjost kroga pa imenujemo disk.

Osnovne količine v krogu

V kartezičnem koordinatnem sestavu x-y, je krog s središčem (x₀,y₀) in polmerom r množica vseh takšnih točk (x,y), da velja

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Če krog leži v izhodišču (0,0), se enačba poenostavi v

x² + y² = r².

Krog, ki leži v izhodišču in ima polmer 1, imenujemo enotski krog.

Krog je stožnica z izsrednostjo 0. Vsi krogi so podobni, tako da sta razmerji med obsegom in polmerom ter med površino in kvadratom polmera konstanti. To sta 2π in π, in sta najboljši določitvi te konstante. Z drugimi besedami:

• dolžina obsega = 2 · π · polmer,
• površina kroga = π · (polmer)².

Enačbo za površino kroga lahko izrazimo iz enačbe za obseg in iz enačbe za površino trikotnika, kot sledi. Predstavljajmo si pravilni šesterokotnik, razdeljen na enake trikotnike s temeni v središču šesterokotnika. Površino šesterokotnika lahko določimo z enačbo za površino trikotnika, če prištejemo dolžine vseh osnov trikotnikov (na notranji strani šesterokotnika) in pomnožimo z višino trikotnikov (razdalja od središča osnove do središča) in delimo z dve. To je približna vrednost za površino kroga. Potem naredimo podobno še z osemkotnikom in dobimo še natančnejšo vrednost. Če razdelimo pravilni mnogokotnik z vedno več in več stranicami na trikotnike in na ta način izračunamo njihove površine, bo površina vedno bolj enaka površini očrtanega kroga. V limiti se vsota osnov približuje obsegu 2πr, višine trikotnikov pa se bližajo polmeru r. Če pomnožimo obe količini in ju delimo z 2, dobimo površino πr².

Premice glede na krog

Premica, ki preseka krog v dveh točkah se imenuje sečnica (presečnica, sekanta), premica, ki se dotika kroga v eni točki se imenuje dotikalnica (tangenta), premica, ki s krogom nima skupne točke pa je mimobežnica (pasanta). Dotikalnice so nujno pravokotne na polmere, odseke, ki povezujejo središče s točko na krogu in katerih dolžina je v skladu z njihovo zgornjo določitvijo. Odsek sečnice, ki ga omejuje krog, se imenuje tetiva. Najdaljša tetiva gre skozi središče in se imenuje premer. Enaka je dvema polmeroma.

Del krožnice, ki ga omejujeta dva polmera, se imenuje krožni lok. Razmerje med dolžino krožnega loka in polmerom določa kot med dvema polmeroma v radianih.

V afini geometriji vsi krogi in elipse postanejo (afino) izomorfni. V projektivni geometriji jih drugi preseki stožca združijo. V topologiji so vse enostavne zaprte krivulje homeomorfne krogom in po navadi krog uporabljamo namesto njih. 3 razsežna podobnost kroga je krogla.

Vsak trikotnik določa več krogov. Njegov očrtan krog vsebuje vse tri točke, njegov včrtan krog leži znotraj kroga in se dotika vseh treh stranic, trije zunanji krogi ležijo zunaj kroga in se dotikajo ene stranice in podaljškov drugih dveh, krog devetih točk vsebuje več pomembnih točk trikotnika.

Glej tudi

• veliki krog