Ortonormalnost: Razlika med redakcijama
m m/dp/pnp |
m m/dp/pnp |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Ortonormalnost''' je v [[linearna algebra|linearni algebri]] odnos med dvema [[enotski vektor|enotskima vektorjema]] (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj [[pravokotnost|pravokotna]] ˙([[ortogonalnost|ortogonalna]]). Skupina [[vektor]]jev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori [[baza (linearna algebra)|bazo]], ki jo imenujemo [[ortonormalna baza]]. |
'''Ortonormalnost''' je v [[linearna algebra|linearni algebri]] odnos med dvema [[enotski vektor|enotskima vektorjema]] (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj [[pravokotnost|pravokotna]] ˙([[ortogonalnost|ortogonalna]]). Skupina [[vektor]]jev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori [[baza (linearna algebra)|bazo]], ki jo imenujemo [[ortonormalna baza]]. |
||
==Definicija == |
== Definicija == |
||
Z <math>\mathcal{V}</math> označimo [[prostor notranjega produkta]]. |
Z <math>\mathcal{V}</math> označimo [[prostor notranjega produkta]]. |
||
Množica vektorjev |
Množica vektorjev |
||
Vrstica 8: | Vrstica 9: | ||
:<math> \forall i,j : \langle u_i , u_j \rangle = \delta_{ij} </math> |
:<math> \forall i,j : \langle u_i , u_j \rangle = \delta_{ij} </math> |
||
kjer je |
kjer je |
||
* <math> \delta_{ij} \,</math> [[ |
* <math> \delta_{ij} \,</math> [[Kroneckerjeva delta]] |
||
* <math>\langle \cdot , \cdot \rangle </math> [[Skalarni produkt#Definicija|notranji produkt]] v prostoru <math>\mathcal{V}</math>. |
* <math>\langle \cdot , \cdot \rangle </math> [[Skalarni produkt#Definicija|notranji produkt]] v prostoru <math>\mathcal{V}</math>. |
||
== |
== Značilnosti == |
||
* če je <math> e_1, e_2, \dots, e_n \,</math> skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja |
* če je <math> e_1, e_2, \dots, e_n \,</math> skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja |
||
::<math>||a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n||^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + \cdots + |a_n|^2</math> |
::<math>||a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n||^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + \cdots + |a_n|^2</math> |
||
* vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je [[linearna neodvisnost|linearno neodvisna]] |
* vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je [[linearna neodvisnost|linearno neodvisna]] |
||
== |
== Zgledi == |
||
=== Dvorazsežni |
=== Dvorazsežni kartezični koordinatni sistem === |
||
Vektorja v [[ |
Vektorja v [[kartezični koordinatni sistem|katezičnem koordinatnem sistemu]] naj bosta <math> u = (x_1, y_1) \,</math> in <math> u = (y_2, y_2) \,</math>. Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja: |
||
* [[skalarni produkt]] je enak 0 ali <math> u.v = 0 \,</math> |
* [[skalarni produkt]] je enak 0 ali <math> u.v = 0 \,</math> |
||
* [[norma (matematika)|norma]] vektorja <math> u \,</math> je enaka 1 ali <math> ||u|| = 1 \,</math> |
* [[norma (matematika)|norma]] vektorja <math> u \,</math> je enaka 1 ali <math> ||u|| = 1 \,</math> |
||
Vrstica 29: | Vrstica 32: | ||
=== Standardna baza === |
=== Standardna baza === |
||
{{glavni| |
{{glavni|standardna baza}} |
||
[[Standardna baza]] v [[koordinatni prostor|koordinatnem prostoru]] <math> F^n \,</math> je <math> { e_1, e_2, \dots, e_n }\,</math> |
[[Standardna baza]] v [[koordinatni prostor|koordinatnem prostoru]] <math> F^n \,</math> je <math> { e_1, e_2, \dots, e_n }\,</math> |
||
kjer je |
kjer je |
Redakcija: 02:52, 11. avgust 2017
Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.
Definicija
Z označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev
je ortogonalna, če in samo, če velja
kjer je
- Kroneckerjeva delta
- notranji produkt v prostoru .
Značilnosti
- če je skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja
- vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je linearno neodvisna
Zgledi
Dvorazsežni kartezični koordinatni sistem
Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta in . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:
- skalarni produkt je enak 0 ali
- norma vektorja je enaka 1 ali
- norma vektorja je enaka 1 ali .
To lahko zapišemo kot
- .
Kar pomeni, da je . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Metoda ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov proces. Običajno se to izvaja v evklidskem prostoru z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.
Standardna baza
Standardna baza v koordinatnem prostoru je kjer je
- .
- .
Katerakoli dva vektorja in , ki imata sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.
Zunanje povezave
- Ortogonalnost (angleško)
- Ortonormalnost na WordiQ (angleško)
- Ortogonalne in ortonormalne baze (angleško)