Funkcija gama: Razlika med redakcijama
m m+/dp |
|||
Vrstica 3: | Vrstica 3: | ||
[[Slika:Complex_gamma.jpg||thumb|right|250px|Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini]] |
[[Slika:Complex_gamma.jpg||thumb|right|250px|Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini]] |
||
'''Fúnkcija gáma''' je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], ki razširja pojem [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Zapisa se je domislil [[Adrien-Marie Legendre]], funkcijo samo pa je uvedel [[Leonhard Euler]]. Če je [[realno število|realni]] del kompleksnega števila ''z'' [[pozitivno število|pozitiven]], potem [[integral]]: |
'''Fúnkcija gáma''' (tudi '''Eulerjeva funkcija gama'''<ref>{{navedi splet|url=http://www.lmfdb.org/intro/tutorial|title= Euler's Gamma function|work= lmfdb.org|date= 2015-04-24|accessdate= 2015-06-13|language=en}}</ref>),je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], ki razširja pojem [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Zapisa se je domislil [[Adrien-Marie Legendre]], funkcijo samo pa je uvedel [[Leonhard Euler]]. Če je [[realno število|realni]] del kompleksnega števila ''z'' [[pozitivno število|pozitiven]], potem [[integral]]: |
||
: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\, \mathrm{d} t \!\, </math> |
: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\, \mathrm{d} t \!\, </math> |
||
Vrstica 57: | Vrstica 57: | ||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
</math> |
||
== Sklici == |
|||
{{sklici|1}} |
|||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
Redakcija: 19:33, 13. junij 2015
Fúnkcija gáma (tudi Eulerjeva funkcija gama[1]),je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral:
konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:
za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.
Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot:
Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:
Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.
Posebne vrednosti funkcije Γ
Sklici
- ↑ »Euler's Gamma function«. lmfdb.org (v angleščini). 24. april 2015. Pridobljeno 13. junija 2015.