Nesimetrična normalna porazdelitev

Nesimetrična normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev.
oznaka	$SN(\xi ,\omega ,\alpha )\!$$SN(\xi ,\omega ,\alpha )\!$ tudi $Skew-Normal(\xi ,\omega ,\alpha )\!$$Skew-Normal(\xi ,\omega ,\alpha )\!$
parametri	$\xi \,$$\xi \,$ parameter lokacije (realno število) $\omega \,$$\omega \,$ parameter merila (pozitivno realno število) $\alpha \,$$\alpha \,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$ $T(h,a)$$T(h,a)$ je Owenova T funkcija glej tudi definicijo na levi strani
pričakovana vrednost	$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ kjer je $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$$\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$
mediana
modus
varianca	$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$
simetrija	${\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}$${\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}$
sploščenost	$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$
karakteristična funkcija	$\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)(1+i\,\mathrm {erf} ({\frac {\sigma \delta t}{\sqrt {2}}}))$$\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)(1+i\,\mathrm {erf} ({\frac {\sigma \delta t}{\sqrt {2}}}))$

Nesimetrična normalna porazdelitev (tudi asimetrična normalna porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki posplošuje normalno porazdelitev tako, da je možen koeficient simetrije, ki je različen od nič.

Definicija

Označimo s $\phi (x)\!$$\phi (x)\!$ funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

tako, da je zbirna funkcija verjetnosti dana z

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+{\text{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].\!$$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+{\text{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].\!$, potem je funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev s parametrom $\alpha \!$$\alpha \!$ enaka

$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$.

Pri tem je

• $\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\!$$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\!$ Gaussova funkcija napake.

Lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev je

${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$

kjer je

• $T(h,a)\!$$T(h,a)\!$ Owenova T funkcija.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$$\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Varianca

Varianca je

$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$.

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$$\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$$\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Funkcija generiranja momemntov

Funkcija generiranja momentov je enaka

$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$

kjer je

• $\Phi (\omega \delta t)\!$$\Phi (\omega \delta t)\!$ zbirna funkcija verjetnosti (glej zgoraj)
• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$$\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\alpha =0\!$$\alpha =0\!$ nesimetrije ni več in dobimo običajno normalno porazdelitev.
• Kadar je $\alpha \to \infty \!$$\alpha \to \infty \!$ dobimo polnormalno porazdelitev

Zunanje povezave

• Simulacija nesimetrične normalne porazdelitve (v angleščini)
• Opis in lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev