Lindemann-Weierstrassov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Lindemann-Weierstrassov izrek je izrek v matematiki, ki je zelo uporaben pri ugotavljanju transcendentnosti števil. Izrek se glasi: če so α1,...,αn različna algebrska števila, ki so linearno neodvisna v množici racionalnih števil in β1,...,βn poljubna argebrska števila različna od 0, potem velja:

Transcendentnosti števil e in π sta neposredni posledici tega izreka. Pri dokazu transcendentnosti e je potrebno pokazati, da če je e algebrski, potem obstajajo takšna racionalna števila β0,...,βn, ki niso vsa enaka 0, da velja

Ker je vsako racionalno število algebrsko, to nasprotuje Lindemann-Weierstrassovemu izreku in e mora biti transcendentno število.

Enakovredna oblika izreka je naslednja: če so α1,...,αn različna algebrska števila, so eksponenti linearno neodvisni v množici algebrskih števil.

Pri dokazovanju transcendentnosti števila π se predpostavi, da je algebrsko. Ker množica vseh algebrskih števil tvori obseg, to nakazuje, da sta tudi πi in 2πi algebrska. Če se vzame β1 = β2 = 1, α1 = πi, α2 = 2πi, Lindemann-Weierstrassov izrek da enačbo (glej Eulerjeva enačba v kompleksni analizi):

To protislovje pokaže transcendentnost števila π.

Izrek se imenuje po Ferdinandu von Lindemannu in Karlu Weierstrassu. Lindemann je leta 1882 dokazal da je število transcendentno za vsako neničelno algebrsko število α, in s tem dokazal, da je π transcendentno število. Weierstrass je dokazal izrek v splošnem leta 1885. Izrek skupaj z Gelfond-Schneiderjevim izrekom posploši Schanuelova domneva. Če bo dokazana, bo poleg omenjenih izrekov rešila več drugih problemov o transcendentnosti eksponentne funkcije, kakor tudi še ne dokazano algebrsko neodvisnost števil π in e.

Izrek je znan tudi pod imenoma Hermite-Lindemannov izrek in Hermite-Lindemann-Weierstassov izrek. Charles Hermite je najprej dokazal preprostejši izrek, kjer so racionalna števila in je linearna neodvisnost zagotovljena v množici racionalnih števil, kar včasih imenujejo Hermitov izrek. Čeprav je bolj posebni primer zgornjega izreka, se lahko splošni rezultat prevede na preprostejši primer. Lindemann je prvi obravnaval algebrska števila v Hermitovem delu leta 1882. Kmalu potem, ko je Weierstrass podal popolno rešitev, je več matematikov podalo poenostavljene dokaze, od katerih je morda najbolj znan Hilbertov dokaz.