Lehmerjeva matrika

Lehmerjeva matrika je konstantna simetrična matrika za katero velja:

$A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i\!\,.\end{cases}}$

To se lahko zapiše tudi kot:

$A_{ij}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}\!\,.$

Imenuje se po ameriškem matematiku Derricku Henryju Lehmerju (1905–1991).

Zgledi

Podani so zgledi nekaterih Lehmerjevih matrik in njihove obratne matrike:

${\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&4/3\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&9/5\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&16/7\end{pmatrix}}\!\,.\\\end{array}}$

Značilnosti

• kadar je $A\!\,$ Lehmerjeva matrika $n\times n\!\,$ in $B\!\,$ Lehmerjeva matrika $m\times m\!\,$, potem je $A\!\,$ podmatrika matrike $B\!\,$ pri čemer je $m>n\!\,$. Vrednost elementov matrike se manjša proti nič v smeri proč od diagonale.
• obratna matrika Lehmerjeve matrika je tridiagonalna matrika, ki ima vrednosti na diagonali nad glavno diagonalo (naddiagonali) in diagonali pod glavno diagonalo (podddiagonali) vedno negativne.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Lehmerjeva matrika (angleško)