Legendrova transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Legendrova transformácija [ležándrova ~] je v matematiki dvočlena involucijska aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.

Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:

Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v:

Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot:

Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):

Popolni diferencial te funkcije je enak:

Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo:

Pri tem velja:

Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.

Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.