Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Z Lagrangeevimi enačbami je mogoče poiskati diferencialne enačbe, ki opisujejo obnašanje mehanskega sistema, prek energijskih konceptov. Precej se jih uporablja v robotiki.

Posplošene koordinate[uredi | uredi kodo]

Enačbe so izražene v posplošenih koordinatah, ki precej olajšajo obravnavo pri omejitvah v gibanjih (npr. gibanje je mogoče le po neki omejeni množici točk) in jih je mogoče zlahka preračunati v katerikoli koordinatni sistem. Te posplošene koordinate q_{i}\left( t\right) so časovne funkcije, njihovo število je enako številu prostostnih stopenj sistema, končni rezultat Lagrangeevega postopka pa so diferencialne enačbe, kjer so po času odvajane te posplošene koordinate.

Energije in Lagrangeeva funkcija[uredi | uredi kodo]

Najprej izračunamo kinetično energijo celotnega mehanskega sistema in jo izrazimo s posplošenimi koordinatami:


W_{\rm k}\left( q_{1},\dot{q_{1}},q_{2},\dot{q_{2}},\ldots ,q_{n},\dot{q_{n}}\right) \!\, .

Kinetična energija je zagotovo odvisna od časovnih odvodov posplošenih koordinat (se pravi, od hitrosti v smereh teh koordinat), v nekaterih primerih pa še od samih posplošenih koordinat.

Nato s posplošenimi koordinatami izrazimo še potencialno energijo sistema:

 W_{\rm p}\left( q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\right) \!\, .

Potencialna energija je odvisna le od posplošenih koordinat, nikoli od njihovih časovnih odvodov. Izračunamo jo iz sil, ki so posledica potencialnih (konservativnih) polj, to je tistih polj, pri katerih je delo odvisno le od začetne in končne točke, neodvisno pa od opravljene poti med njima (posledično je delo vzdolž sklenjene poti enako nič). Primeri potencialnih sil so težnost, električna sila, sile v prožnih vzmeteh itd.

Preostale nepotencialne sile (npr. trenje, upor, zunanje sile itd.) bomo upoštevali nekoliko kasneje.

Razlika tako izražene kinetične in potencialne energije se imenuje Lagrangeeva funkcija (tudi »lagranžijan« ali »Lagrangiana«), po navadi jo označimo s črko L:

 \mathcal{L}=W_{\rm K}-W_{\rm P} \!\, .

Lagrangeeva enačba[uredi | uredi kodo]

Po nekoliko daljšem izpeljevanju se izkaže, da dobimo diferencialne enačbe mehanskega sistema z naslednjimi Lagrangeevimi enačbami:


\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_{i}}}\right) -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{i}}=\sum F_{\rm s} \!\, ,

kjer desna stran predstavlja vsoto vseh sil, ki delujejo v smeri posplošene koordinate q_{i} in še niso bile upoštevane pri računanju potencialne energije. Postopek ponavljamo za vse posplošene koordinate, na koncu torej dobimo toliko diferenecialnih enačb, kolikor je posplošenih koordinat.

Uporabnost[uredi | uredi kodo]

Metoda je uporabna le pri sorazmerno enostavnih mehanskih sistemih z ne preveč posplošenimi koordinatami, sicer postane zapleteno že »peš« račuanje energij, odvajanja pa še toliko bolj. V takšnih primerih si lahko pomagamo le s programskimi paketi za simbolično računanje, pa še pri teh bo računaje trajalo kar nekaj časa.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Prosti pad brez zračnega upora[uredi | uredi kodo]

Točkasto telo z maso m prosto pada. Na maso navpično navzdol deluje gravitacijska sila:

 F_{\rm g} = mg \!\, .

Pri tem zaradi točkastega telesa, ki nima razsežnosti, zračni upor zanemarimo, tako da nanj ne delujejo druge sile. x je navpična koordinata, na začetku pada enaka 0, s pozitivno smerjo navzgor. Med gibanjem je težni pospešek g konstanten. Lagrangeeva funkcija je:

\mathcal{L}=W_{\rm k} - W_{\rm p} = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2} - mgx \!\,

in enačba prostega pada:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = m \frac{\mathrm{d} (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)}{\mathrm{d} t} - (- mg) = 0 \!\, ,

kar lahko nazadnje zapišemo z nehomogeno linearno diferencialno enačbo:

 \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d}t^{2}} + g = 0 \!\, .

Hitrost je:

 \int \mathrm{d}(\mathrm{d}x/\mathrm{d}t) = \int \mathrm{d}v = - g \int \mathrm{d}t \!\, ,
 v = -gt + v_{0} \!\, ,

kjer je v_{0}\!\, začetna hitrost. Trenutna lega je:

 \int \mathrm{d}x = \int (- gt + v_{0}) \mathrm{d}t \!\, ,
 x = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + x_{0} \!\, ,

kjer je x_{0}\!\, začetna višina, kot rečeno, enaka 0.

Prosti pad z newtonskim uporom[uredi | uredi kodo]

Lagrangeeva funkcija je enaka kot pri prostemu padu brez zračnega upora, enačba prostega pada s kvadratnim zakonom zračnega upora, kjer je na desni strani sila upora, pa je:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = m \frac{\mathrm{d} (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)}{\mathrm{d} t} - (- mg) = F_{\rm u} \!\, ,

kar da nehomogeno nelinearno enačbo Riccatijevega tipa:

 m \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d}t^{2}} - k \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^{2} + mg = 0 \!\, ,

kjer je:

 k = \frac{1}{2} c_{\rm u} \rho S \!\,

in pri tem:

 c_{\rm u} \!\, ... koeficient upora,
 \rho \!\, ... gostota sredstva (zraka),
 S \!\, ... čelni presek telesa.

Hitrost je:

 v = - v_{\rm m} \operatorname{th} \left( \frac{g t}{v_{\rm m}} - \operatorname{Arth} \frac{v_{0}}{v_{\rm m}} \right) \!\, ,

trenutna lega pa:

 x = -\frac{v_{\rm m}^{2}}{g} \ln\left[ \operatorname{ch}\left( \frac{g t}{v_{\rm m}} - \operatorname{Arth} \frac{v_{0}}{v_{\rm m}} \right) \right] + x_{0} \!\, .

Telo doseže konstantno mejno hitrost (oznaki v_{\rm m}\!\, ali v_{\infty}\!\,):

 v_{\rm m} = \sqrt{\frac{2mg}{c_{\rm m} \rho S}} = \sqrt{\frac{mg}{k}} \!\, ,

ko pojemek zaradi zračnega upora postane enako velik kot težni pospešek.[1]

Točkasto nihalo[uredi | uredi kodo]

Oglejmo si uporabo Lagrangeevih enačb na preprostem primeru točkastega nihala, kot je prikazano na sliki.

Tockasto nihalo.png

Na neraztegljivi vrvici dolžine l naj visi dovolj majhna utež z maso m, da jo lahko smatramo kot točko. Poleg sile v vrvici naj bo edina sila na utež sila težnosti, ki s težnim pospeškom g deluje navpično navzdol. Zračni upor in vse ostale sile zanemarimo. Predpostavimo, da je vrvica ves čas napeta.

Sistem ima le eno prostostno stopnjo, zasuk \varphi , ki naj bo tako tudi edina posplošena koordinata.

Kinetična energija točkaste uteži je enaka:


W_{\rm k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2} \!\, .

Pri računanju potencialne energije moramo najprej poznati dogovorjeno vrednost potencialne energije v neki dogovorjeni točki. Končni rezultat je sicer neodvisen od teh dogovorjenih vrednosti, bodo pa vmesni izračuni precej enostavnejši, če privzamemo, da naj bo potencialna energija v povsem navpični legi nihala (pri \varphi =0) enaka nič. Višinske razlike točkaste uteži v odvisnosti od naklonskega kota \varphi ni težko izračunati, na koncu dobimo naslednjo zvezo za potencialno energijo:


W_{\rm p}=mgl\left( 1-\cos \varphi \right) \!\, .

Lagrangiana je tako enaka:


\mathcal{L}=W_{\rm k}-W_{\rm p}=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2}-mgl\left( 1-\cos \varphi \right)=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2}-mgl+mgl\cos \varphi \!\, .

Odvajajmo jo najprej po časovnem odvodu zasuka \varphi :


\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}=ml^{2}\dot{\varphi } \!\, .

dobljeni vmesni rezultat pa še po času:


\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}\right) =ml^{2}\ddot{\varphi } \!\, .

Odvajajmo Lagrangiano še po zasuku \varphi , pri tem upoštevamo zasuk in njegov časovni odvod kot dve neodvisni spremenljivki:


\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }=-mgl\sin \varphi \!\, .

Zunanjih sil ni, ravno tako smo zanemarili zračni upor.

Če vse delne rezultate združimo v Lagrangeevi enačbi, dobimo naslednjo homogeno nelinearno diferencialno enačbo, ki opisuje nihanje točkastega nihala:


ml^{2}\ddot{\varphi }+mgl\sin \varphi =0 \!\, .

Točkasto nihalo na gibljivi podpori[uredi | uredi kodo]

PendulumWithMovableSupport.svg

Podobno sta enačbi, če je nihalo obešeno na gibljivo podporo z maso M.

  (M + m) \ddot x + m l \ddot\varphi\cos\varphi-m l \dot\varphi ^2 \sin\varphi = 0 \!\,
 \ddot\varphi + \frac{\ddot x}{l} \cos\varphi + \frac{g}{l} \sin\varphi = 0 \!\, .

Hamiltonovo načelo[uredi | uredi kodo]

Akcija, označena s \mathcal{S}, je časovni integral Lagrangeeve funkcije:

 \mathcal{S} = \int \mathcal{L}\,\mathrm{d}t \!\, .

Naj sta q0 in q1 koordinati v začetnem in končnem času t0 in t1. Z variacijskim računom se da pokazati, da so Lagrangeeve enačbe enakovredne Hamiltonovemu načelu:

Sistem med t0 in t1 gre po tiru, katerega akcija je stacionarna vrednost.

Stacionarna pomeni, da se akcija ne spreminja do prvega reda za infinitezimalne deformacije tira z nepomičnima končnima točkama (q0, t0) in (q1,t1). Hamiltonovo načelo lahko zapišemo kot:

 \delta \mathcal{S} = 0 \!\, .

Namesto, da bi si mislili kako telesa ali delci zaradi na njih delujočih sil pospešujejo, lahko mislimo, da si izberejo pot s stacionarno akcijo.

Hamiltonovo načelo včasih imenujejo načelo najmanjše akcije. Vendar je to napačno - akcija mora biti le stacionarna s poljubno variacijo h funkcionala, ki povečuje funkcionalni integral akcije. Pri tem ni nujno, kar velikokrat napačno navajajo, da je minimalna ali maksimalna za funkcional akcije.

To načelo lahko namesto Newtonovih zakonov uporabimo kot osnovno načelo mehanike. Newtonovi zakoni temeljijo na diferencialnih enačbah, tako da lahko uporabimo integralsko načelo za osnovo mehanike. Hamiltonovo načelo je variacijsko načelo s holonomnimi vezmi. Če imamo neholonomne sisteme, moramo variacijsko načelo zamenjati z d'Alembertovim načelom virtualnega dela (načelo virtualnih premikov). Če delamo le s holonomnimi vezmi, moramo plačati ceno za elegantno variacijsko formulacijo mehanike.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Breuer (1993), str. 35.

Viri[uredi | uredi kodo]