Kompleksni logaritem

Graf ene vejitve funkcije kompleksnega logaritma. Odtenek barve označuje argument (polarni kot) kompleksnega logaritma. Nasičenost in vrednost (jakost in svetlost) barve pa označuje modul kompleksnega logaritma. Stran slike prikazuje kodiranje barv kot funkcije njihovih kompleksnih vrednosti.

Kompleksni logaritem je v kompleksni analizi obratna funkcija kompleksne eksponentne funkcije, podobno kot je naravni logaritem $\ln x\,$ obrat realne eksponentne funkcije $e^{x}\,$. Tako je logaritem kompleksnega števila $z\,$ takšno kompleksno število $w\,$, da velja:

$e^{w}=z\!\,.$

Označba za takšno število $w\,$ je $\ln z\,$ ali $\log z\,$. Ker ima vsako neničelno kompleksno število $z\,$ neskončno mnogo logaritmov, je treba biti pozoren pri točnih označbah.

Če za polarno obliko velja:

$z=re^{i\theta },\qquad (r>0)\!\,,$

potem je:

$w=\ln r+i\theta \!\,$

en logaritem števila $z\,$. Celoštevilski mnogokratniki $2\pi \,$ dajo vse druge logaritme.

Glej tudi

• logaritem
• diskretni logaritem
• eksponentna funkcija
• argument (kompleksna analiza)
• krožna funkcija
• potenciranje
• vejišče (točka vejitve)
• konformna preslikava
• analitično nadaljevanje

Viri

• Conway, John Bligh (1978), Functions of One Complex Variable (2. izd.), Springer
• Lang, Serge (1993), Complex Analysis (3. izd.), Springer-Verlag
• Moretti, Gino (1964), Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall
• Sarason, Donald (2007), Complex Function Theory (2. izd.), Ameriško matematično društvo
• Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927), A Course in Modern Analysis (4. izd.), Cambridge University Press