Inverzna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivuljo srčnico (zeleno) dobimo z inverzijo parabole (rdeče) s pomočjo krožnice (črtkano).

Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo  C \, rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo  C \,.

Opis[uredi | uredi kodo]

Dano imamo fiksno krožnico s središčem v  O \, in polmerom  r \,. Inverzno (obratno) točko  Q \, točke  P \,, ki leži na daljici QO in zanjo velja  OP.PQ = k^2  \,. Geometrijsko mesto točk  P \,, ko se giblje  Q \, po krivulji  C \,, se imenuje inverzna krivulja krivulje  C \,. Točka  O \, se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost  k \, pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

Oblike[uredi | uredi kodo]

Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča  (X, Y) \, ima koordinate

X = \frac{x}{x^2+y^2},\ Y=\frac{y}{x^2+y^2},

ali, kar je enakovredno

x = \frac{X}{X^2+Y^2},\ y=\frac{Y}{X^2+Y^2}..

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z  f(x, y) = 0 \,, glede na enotski krog, dobimo

f\left(\frac{X}{X^2+Y^2},\ \frac{Y}{X^2+Y^2}\right)=0..

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje  n \, zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo  2n \,.

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot

x = x(t),\ y = y(t). V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot
X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2 + y(t)^2}..

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z  f(x, y) = 0 \, glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

f\left(a+\frac{k^2(X-a)}{(X-a)^2+(Y-b)^2},\ b+\frac{k^2(Y-b)}{(X-a)^2+(Y-b)^2}\right)=0.

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama

x = x(t),\ y = y(t),

je glede na neko krožnico, je dana kot

X=X(t)=a+\frac{k^2(x(t)-a)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2},\ Y=Y(t)=b+\frac{k^2(y(t)-b)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2}.

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka  f(r, \theta) \, glede na enotsko krožnico  f(r, \Theta) \, kjer je

R = \frac{1}{r},\ \Theta=\theta,

ali

r = \frac{1}{R},\ \theta=\Theta.

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo  f(r, \theta) \, določena kot  f(1/R, \Theta) = 0 \, in inverzna krivulja krivulje  r = g(\theta) \, je enaka  r = 1/g(\theta) \,.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo

(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2-y^2) \,.

To nam da

a^2(u^2-v^2) = 1,\,

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]