Inverzna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivuljo srčnico (zeleno) dobimo z inverzijo parabole (rdeče) s pomočjo krožnice (črtkano).

Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo .

Opis[uredi | uredi kodo]

Dano imamo fiksno krožnico s središčem v in polmerom . Inverzno (obratno) točko točke , ki leži na daljici QO in zanjo velja . Geometrijsko mesto točk , ko se giblje po krivulji , se imenuje inverzna krivulja krivulje . Točka se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

Oblike[uredi | uredi kodo]

Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča ima koordinate

ali, kar je enakovredno

.

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z , glede na enotski krog, dobimo

.

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo .

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot

. V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot
.

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama

,

je glede na neko krožnico, je dana kot

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka glede na enotsko krožnico kjer je

ali

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo določena kot in inverzna krivulja krivulje je enaka .

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo

.

To nam da

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]