Mersennovo število

Mersennovo število (tudi Evklid-Mersennovo število) je naravno število oblike:

M_{n}\equiv 2^{n}-1,\qquad (n>0)\!\,.

Mersenne je poskušal odkriti, katera števila takšne oblike so praštevila. Mersennova praštevila so v tesni povezavi s popolnimi števili. Trenutno (november 2024) je po vrsti znanih 44 Mersennovih praštevil za n enak (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457 in 32.582.657.

in še 4 Mersennova praštevila za n enak:

37.156.667, 42.643.801, 43.112.609 in 57.885.161.

Ni pa znano ali obstaja še kakšno Mersennovo praštevilo, ki je manjše od 45., oziroma med zadnjimi štirimi.

Velja domnevna ocena za gostoto porazdelitve Mersennovih praštevil z eksponentom $p<x\,$ :

e^{\gamma }\log(\log x)/\log 2\!\,,

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Značilnosti

Enakost:

2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\!\,

kaže, da je $M_{n}$ lahko praštevilo le, če je tudi n praštevilo. Praštevilskost n je nujen, ne pa tudi zadosten pogoj, da je $M_{n}$ praštevilo. To dejstvo zelo poenostavlja iskanje Mersennovih praštevil. Obratna izjava, da je $M_{n}$ nujno praštevilo, če je n praštevilo, pa ne velja. Najmanjši protiprimer je $2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ , ki je sestavljeno število. Prva druga praštevila, za katera $M_{n}$ ni praštevilo, so (OEIS A054723):

11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, ...

Ni znano ali je takšnih števil neskončno mnogo. Ta praštevila si sledijo po vrsti, (11 je peto praštevilo, 23 deveto, itd.): (OEIS A135980):

5, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, ...

Vsota neskončne vrste obratnih vrednosti Mersennovih praštevil konvergira in je enaka konstanti:

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{M_{n}}}&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{127}}+{\frac {1}{8191}}+{\frac {1}{131071}}+{\frac {1}{524287}}+{\frac {1}{2147483647}}+{\frac {1}{2305843009213693951}}+\ldots \\&=0{,}5164541789407\ldots \!\,,\end{aligned}}

(OEIS A173898).

Za prvih 100 števk konstante zadostuje prvih enajst Mersennovih praštevil.

Seznam znanih Mersennovih praštevil

Razpredelnica podaja vsa do sedaj znana Mersennova praštevila (OEIS A000668):

#	$n\,$	$M_{n}\,$	št. števk v $M_{n}\,$	datum odkritja	odkritelj	metoda
1	2	3	1	okoli 430 pr. n. št.	starogrški matematiki^[1]
2	3	7	1	okoli 430 pr. n. št.	starogrški matematiki^[1]
3	5	31	2	okoli 300 pr. n. št.	starogrški matematiki^[2]
4	7	127	3	okoli 300 pr. n. št.	starogrški matematiki^[2]
5	13	8191	4	1456	neznani ^[3]	poskusno deljenje
6	17	131071	6	1588	Cataldi	poskusno deljenje^[4]
7	19	524287	6	1588	Cataldi	poskusno deljenje^[4]
8	31	2147483647	10	1772	Euler^[5]^[6]	izboljšano poskusno deljenje^[7]
9	61	2305843009213693951	19	november 1883^[8]	Pervušin	Lucasova zaporedja
10	89	618970019642...137449562111	27	junij 1911^[9]	Powers	Lucasova zaporedja
11	107	162259276829...578010288127	33	1. junij 1914^[10]^[11]^[12]	Powers^[13]	Lucasova zaporedja
12	127	170141183460...715884105727	39	10. januar 1876^[14]	Lucas	Lucasova zaporedja
13	521	686479766013...291115057151	157	30. januar 1952^[15]	Robinson	LLT / računalnik SWAC
14	607	531137992816...219031728127	183	30. januar 1952^[15]	Robinson	LLT / SWAC
15	1279	104079321946...703168729087	386	25. junij 1952^[16]	Robinson	LLT / SWAC
16	2203	147597991521...686697771007	664	7. oktober 1952^[17]	Robinson	LLT / SWAC
17	2281	446087557183...418132836351	687	9. oktober 1952^[17]	Robinson	LLT / SWAC
18	3217	259117086013...362909315071	969	8. september 1957^[18]	Riesel	LLT / računalnik BESK
19	4253	190797007524...815350484991	1281	3. november 1961^[19]^[20]	Hurwitz	LLT / računalnik IBM 7090
20	4423	285542542228...902608580607	1332	3. november 1961^[19]^[20]	Hurwitz	LLT / IBM 7090
21	9689	478220278805...826225754111	2917	11. maj 1963^[21]	Gillies	LLT / superračunalnik ILLIAC II
22	9941	346088282490...883789463551	2993	16. maj 1963^[21]	Gillies	LLT / ILLIAC II
23	11.213	281411201369...087696392191	3376	2. junij 1963^[21]	Gillies	LLT / ILLIAC II
24	19.937	431542479738...030968041471	6002	4. marec 1971^[22]	Tuckerman	LLT / računalnik IBM 360/91
25	21.701	448679166119...353511882751	6533	30. oktober 1978^[23]	Noll, Nickel	LLT / superračunalnik CDC Cyber 174
26	23.209	402874115778...523779264511	6987	9. februar 1979^[24]	Noll	LLT / CDC Cyber 174
27	44.497	854509824303...961011228671	13.395	8. april 1979^[25]^[26]	Nelson, Slowinski	LLT / superračunalnik Cray 1
28	86.243	536927995502...709433438207	25.962	25. september 1982	Slowinski	LLT / Cray 1
29	110.503	521928313341...083465515007	33.265	28. januar 1988^[27]^[28]	Colquitt, Welsh	LLT / superračunalnik NEC SX-2^[29]
30	132.049	512740276269...455730061311	39.751	19. september 1983^[1]^[30]	Slowinski	LLT / superračunalnik Cray X-MP
31	216.091	746093103064...103815528447	65.050	1. september 1985^[1]^[31]^[32]	Slowinski	LLT / Cray X-MP/24
32	756.839	174135906820...328544677887	227.832	19. februar 1992	Slowinski, Gage	superračunalnik Cray-2 v Harwell Lab^[33]
33	859.433	129498125604...243500142591	258.716	4. januar 1994^[34]^[35]^[36]	Slowinski, Gage	LLT / superračunalnik Cray C90
34	1.257.787	412245773621...976089366527	378.632	3. september 1996^[37]	Slowinski, Gage^[38]	LLT / superračunalnik Cray T94
35	1.398.269	814717564412...868451315711	420.921	13. november 1996	GIMPS / Joel Armengaud^[39]	LLT / progam Prime95 – 90 MHz Pentium PC
36	2.976.221	623340076248...743729201151	895.932	24. avgust 1997	GIMPS / Gordon Spence^[40]	LLT / Prime95 – 100 MHz Pentium PC
37	3.021.377	127411683030...973024694271	909.526	27. januar 1998	GIMPS / Roland Clarkson^[41]	LLT / Prime95 – 200 MHz Pentium PC
38	6.972.593	437075744127...142924193791	2.098.960	1. junij 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala^[42]	LLT / Prime95 – 350 MHz Pentium II IBM Aptiva
39	13.466.917	924947738006...470256259071	4.053.946	14. november 2001	GIMPS / Michael Cameron^[43]	LLT / Prime95 – 800 MHz Athlon T-Bird
40	20.996.011	125976895450...762855682047	6.320.430	17. november 2003	GIMPS / Michael Shafer^[44]	LLT / Prime95 – 2 GHz Dell Dimension
41	24.036.583	299410429404...882733969407	7.235.733	15. maj 2004	GIMPS / Josh Findley^[45]	LLT / Prime95 – 2.4 GHz Pentium 4 PC
42	25.964.951	122164630061...280577077247	7.816.230	18. februar 2005	GIMPS / Martin Nowak^[46]	LLT / Prime95 – 2.4 GHz Pentium 4 PC
43	30.402.457	315416475618...411652943871	9.152.052	15. december 2005	GIMPS / Cooper, Boone^[47]	LLT / Prime95 – 2 GHz Pentium 4 PC
44	32.582.657	124575026015...154053967871	9.808.358	4. september 2006	GIMPS / Cooper, Boone^[48]	LLT / Prime95 – 3 GHz Pentium 4 PC
45^[*]	37.156.667	202254406890...022308220927	11.185.272	6. september 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich^[49]	LLT / Prime95 – 2.83 GHz Core 2 Duo PC
46^[*]	42.643.801	169873516452...765562314751	12.837.064	12. april 2009^[**]	GIMPS / Odd Magnar Strindmo^[50]	LLT / Prime95 – 3 GHz Core 2 PC
47^[*]	43.112.609	316470269330...166697152511	12.978.189	23. avgust 2008	GIMPS / Edson Smith^[49]	LLT / Prime95 – Dell Optiplex 745
48^[*]	57.885.161	581887266232...071724285951	17.425.170	25. januar 2013	GIMPS / Cooper^[51]	LLT / Prime95 – 3 GHz Intel Core2 Duo E8400^[52]

^{^ *} Ni znano ali obstaja kakšno Mersennovo praštevilo med 44. (M_32.582.657) in 48. (M_57.885.161) v tej razpredelnici. Zato so zadnje štiri zaporedne številke le začasne. Vsa Mersennova števila manjša od 47-ega (M_43.112.609) so bila preverjena vsaj enkrat, nekatera pa niso bila preverjena dvakrat. Nekatera Mersennova števila manjša od 48-ega niso bila preverjena.^[53] Praštevila ne odkrijejo vedno v naraščajočem vrstnem redu. 29. Mersennovo praštevilo je bilo na primer odkrito za 30. in 31. Prav tako je bilo 45. odkrito štirinajst dni za 47., ter 46. slabih sedem mesecev za 47.

^{^ **} Število M_42,643,801 je bilo prvič odktito na stroju 12. aprila 2009. Vendar nihče ni bil pozoren na to dejstvo vse do 4. junija. Tako se lahko oba datuma, 12. april ali 4. junij, štejeta za datum 'odkritja'. Odktitelj Strindmo je verjetno uporabil nadimek Stig M. Valstad.

Število M_43.112.609 je prvo odkrito praštevilo z več kot 10 milijoni desetiških števk. 48. znano Mersennovo praštevilo bi se zapisalo na 4647. straneh v desetiškem sistemu po 75 števk v vrstici in 50 vrstic na stran. Največje znano Mersennovo praštevilo (2^57,885,161 − 1) je hkrati tudi trenutno največje znano praštevilo.^[51]

2305843009213693951

Število 2305843009213693951 je deveto Mersennovo praštevilo in je enako $2^{61}-1$ . Leta 1883 je Pervušin pokazal, da je praštevilo, in ga zato včasih imenujejo Pervušinovo število. Do leta 1911 je ostalo drugo največje znano praštevilo za številom $2^{127}-1$ , katerega praštevilskost je že sedem let prej dokazal Lucas.

Neskončni verižni ulomek

Konstanta neskončnega verižnega ulomka Mersennovih praštevil je:^[54]

u_{\mathcal {M}}=[0;3,7,31,127,8191,131071,524287,2147483647,2305843009213693951,\ldots ]=0,318248158405\ldots \!\,.

(OEIS A242072).

Glej tudi

Sklici

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Noll, Landon Curt. »Mersenne Prime Digits and Names« (v angleščini).
↑ ^2,0 ^2,1 »Euclid's Elements, knjiga IX, propozicija 36« (v angleščini). Pridobljeno 20. julija 2015.
↑ The Prime Pages, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists.
↑ ^4,0 ^4,1 str. 13–18 v Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#^{[mrtva povezava]}
↑ Euler (1772).
↑ http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 Datum in leto odkritja nista točno znana. Možni so datumi med letoma 1752 in 1772.
↑ Caldwell, Chris K. »Modular restrictions on Mersenne divisors« (v angleščini). Primes.utm.edu. Pridobljeno 21. maja 2011.
↑ “En novembre de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre 2⁶¹ − 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. http://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [pridobljeno dne 2012-09-17] Glej tudi Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), str. 553–554. Glej tudi Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, vol. 48
↑ Powers (1911).
↑ "M. E. Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j’en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich [secretary of London Mathematical Society] pour M₁₀₇. Sur ma demande, ces deux auteurs m’ont adressé leurs remarquables résultats, et je m’empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations." str. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne str. 85, 103–108 v Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] v. 9, No. 1, 1914.
↑ "Power's cable announcing this same result was sent to the London Math. So. on 1 June 1914." Mersenne's Numbers, Scripta Mathematica, v. 3, 1935, str. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [pridobljeno dne 2012-10-13]
↑ Powers (1914).
↑ »M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?« (v angleščini). The Prime Pages..
↑ Lucas (1876).
↑ ^15,0 ^15,1 Lehmer (1952a). »S pomočjo standardnega testa za Mersennova praštevil s programom, ki ga je izdelal R. M. Robinson, je SWAC odkril praštevili 2⁵²¹ − 1 in 2⁶⁰⁷ − 1 30. januarja 1951. To je vodilo do 13. in 14. popolnega števila.«
↑ Lehmer (1952b). »Program opisan v opombi 131 (c) je našel 15-o Mersennovo praštevilo 2¹²⁷⁹ − 1 25. junija. SWAC je preveril to število v 13-ih minutah in 25-ih sekundah.«
↑ ^17,0 ^17,1 Lehmer (1952c). »Dve novi Mersennovi praštevili, 2²²⁰³ − 1 in 2²²⁸¹ − 1, je odkril računalnik SWAC 7. in 9. oktobra 1952.«
↑ Riesel (1958). »8. septembra 1957 je švedski elektronski računalnik BESK našel, da je Mersennovo število M₃₂₁₇ = 2³²¹⁷ − 1 praštevilo.«
↑ ^19,0 ^19,1 Hurwitz; Selfridge (1961).
↑ ^20,0 ^20,1 Hurwitz (1962). »Če je p praštevilo se M_p = 2^p − 1 imenuje Mersennovo število. Praštevili M₄₂₅₃ in M₄₄₂₃ sta bili odkriti s programiranjem Lucas-Lehmerjevega testa za raačunalnik IBM 7090.«
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 Gillies (1964). »Praštevila M₉₆₈₉, M₉₉₄₁ in M₁₁₂₁₃, ki so sedaj največja znana praštevila, so bila odkrita z računalnikom Illiac II v Laboratoriju digitalnih računalnikov Univerze Illinoisa.«
↑ Tuckerman (1971). »Zvečer 4. marca 1971 je bil odkrit ničelni Lucas-Lehmerjev ostanek za p = p₂₄ = 19937, zato je število M₁₉₉₃₇ 24-o Mersennovo praštevilo.«
↑ Noll; Nickel (1980). »30. oktobra 1978 ob 9:40 sva odkrila, da je število M₂₁₇₀₁ praštevilo. Procesorki čas za ta test je bil 7:40:20. Tuckerman in Lehmer sta kasneje priskrbela potrditev tega rezultata.«
↑ Noll; Nickel (1980). »Od preostalih števil M_p je bilo najdeno, da je le število M₂₃₂₀₉ praštevilo. Test se je zaključil 9. februarja 1979 ob 4:06 po izvedenem procesorskem času 8:39:37. Lehmer in McGrogan sta kasneje potrdila rezultat.«
↑ Slowinski (1978–1979).
↑ Slowinski (1982). »27. Mersennovo praštevilo. Ima 13395 števk in je enako 2⁴⁴⁴⁹⁷ – 1. [...] Njegova praštevilskost je bila odkrita 8. aprila 1979 s pomočjo Lucas-Lehmerjevega testa. Test sta sprogramirala na računalniku CRAY-1 David Slowinski in Harry Nelson.« (str. 15) »Rezultat je bil, da je po uporabi Lucas-Lehmerjevega testa na približno tisoč števil koda v nedeljo 8. aprila ugotovila, da je število 2⁴⁴⁴⁹⁷ − 1 dejansko 27. Mersennovo praštevilo.« (str. 17).
↑ Colquitt; Welsh (1991). »Program s FFT, ki je vseboval 8192 kompleksnih elementov, kar je bila najmanjša zahtevana velikost za preverjanje števila M₁₁₀₅₀₃, je tekel približno 11 minut na računalniku SX-2. Odkritje števila M₁₁₀₅₀₃ (29. januar 1988) je bilo potrjeno.«
↑ Peterson (1988). »Taa teden sta dva računalniška strokovnjaka našla 31. Mersennovo praštevilo. Na njihovo začudenje novo okdrito praštevilo pade med dve predhodno znani Mersennovi praštevili. Število se pojavi pri p = 110,503, kar pomeni, da je tretje največje znano Mersennovo praštevilo.«
↑ »Mersenne Prime Numbers« (v angleščini). Omes.uni-bielefeld.de. 5. januar 2011. Pridobljeno 21. maja 2011.
↑ Higgins (1983a), Higgins (1983b). »Slowinski, računalniški inženir za Cray Research Inc. v Chipppewa Fallsu, je odkril število v nedeljo ob 11:36 [to je 19. septembra 1983].«
↑ Peterson (1985).
↑ Sallee (1985).
↑ »The finding of the 32nd Mersenne«. The Prime Pages (v angleščini).
↑ Caldwell, Chris K. »The Largest Known Primes« (v angleščini). Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2. decembra 1998.
↑ Crays press release
↑ Elektronska pošta Slowinskega
↑ Silicon Graphics' press release https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [Retrieved 2012-09-20]
↑ »A Prime of Record Size! 2^1257787-1«. The Prime Pages (v angleščini).
↑ GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime.
↑ GIMPS Discovers 36th Known Mersenne Prime.
↑ GIMPS Discovers 37th Known Mersenne Prime.
↑ GIMPS Finds First Million-Digit Prime, Stakes Claim to $50,000 EFF Award.
↑ GIMPS, Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.
↑ GIMPS, Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid.
↑ GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^24,036,583-1.
↑ GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^25,964,951-1.
↑ GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^30,402,457-1.
↑ GIMPS, Mersenne.org Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^32,582,657-1.
↑ ^49,0 ^49,1 »Titanic Primes Raced to Win $100,000 Research Award« (v angleščini). Pridobljeno 16. septembra 2008.
↑ »The List of Largest Known Primes Home Page« (v angleščini). Pridobljeno 18. septembra 2012.
↑ ^51,0 ^51,1 »GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57,885,161 − 1« (v angleščini). Great Internet Mersenne Prime Search. Pridobljeno 5. februarja 2013.
↑ »List of known Mersenne prime numbers« (v angleščini). Pridobljeno 29. novembra 2014.
↑ »GIMPS Milestones Report« (v angleščini). Pridobljeno 23. maja 2015.
↑ Wolf (2010).

Viri

Colquitt, Walter N.; Welsh, Luther (april 1991), »A New Mersenne Prime« (PDF), Mathematics of Computation, 56 (194): 867–870, pridobljeno 18. septembra 2012{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
Euler, Leonhard (1772), »EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands compris dans la somme de la progression géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S].«, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772: 35–36, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 31. marca 2012, pridobljeno 2. oktobra 2011
Gillies, Donald Bruce (1964), »Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory« (PDF), Mathematics of Computation, 18 (85): 93–97, pridobljeno 18. septembra 2012
Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571
Higgins, Jim (24. september 1983), »Elusive numeral's number is up«, The Milwaukee Sentinel: 1, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 13. marca 2016, pridobljeno 20. julija 2015
Higgins, Jim (24. september 1983), »Scientist finds big number«, The Milwaukee Sentinel: 11, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 13. marca 2016, pridobljeno 20. julija 2015
Hurwitz, Alexander; Selfridgewfirst2= J. L. (1961), »Fermat numbers and perfect numbers«, Notices of the American Mathematical Society, 8: 601
Hurwitz, Alexander (1962), »New Mersenne Primes« (PDF), Mathematics of Computation, 16 (78): 249–251, pridobljeno 18. septembra 2012
Lehmer, Derrick Henry (1952a), »Note 131: Recent Discoveries of Large Primes« (PDF), Mathematics of Computation, 6 (37): 61, pridobljeno 18. septembra 2012
Lehmer, Derrick Henry (1952b), »A New Mersenne Prime« (PDF), Mathematics of Computation, 6 (39): 205, pridobljeno 18. septembra 2012
Lehmer, Derrick Henry (1952c), »Two New Mersenne Primes« (PDF), Mathematics of Computation, 7 (41): 72, pridobljeno 18. septembra 2012
Lucas, Édouard (1876), Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers, pridobljeno 2. oktobra 2011. Predstavljeno na srečanju Francoske akademije znanosti 10. januarja 1876.
Noll, Landon Curt; Nickel, Laura A. (1980), »The 25th and 26th Mersenne Primes« (PDF), Mathematics of Computation, 35 (152): 1387–1390, pridobljeno 18. septembra 2012
Peterson, I. (28. september 1985), »Prime time for supercomputers«, Science News, 128 (13): 199, pridobljeno 18. septembra 2012
Peterson, I. (2. junij 1988), »Priming for a lucky strike«, Science News, 133 (6): 85–85, pridobljeno 18. septembra 2012
Powers, Ralph Ernest (november 1991), »The Tenth Perfect Number«, The American Mathematical Monthly, 18 (11): 195–197, doi:10.2307/2972574, pridobljeno 2. oktobra 2011{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava). Članek je podpisan »DENVER, COLORADO, junij 1911.«
Powers, Ralph Ernest (1914), »Records of Proceedings at Meetings« (PDF), Proc. London Math. Soc., s2–13 (1): 1, doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s, pridobljeno 2. oktobra 2011. Rezultat predstavljen na srečanju Londonskega matematičnega društva 11. junija 1914.
Riesel, Hans Ivar (1958), »A New Mersenne Prime« (PDF), Mathematics of Computation, 12: 60, pridobljeno 18. septembra 2012
Sallee, Rad (20. september 1985), »Supercomputer'/Chevron calculating device finds a bigger prime number«, Houston Chronicle, Section 1: 26, 4, pridobljeno 23. oktobra 2012
Slowinski, David (1978–1979), »Searching for the 27th Mersenne Prime«, Journal of Recreational Mathematics, 11 (4): 258–261, MR 80g #10013 {{citation}}: Preveri vrednost |mr= (pomoč)
Slowinski, David (1982), »Searching for the 27th Mersenne Prime«, Cray Channels, 4 (1): 15–17
Tuckerman, Bryant (1971), »The 24th Mersenne Prime« (PDF), Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 68 (10): 2319–2320, pridobljeno 18. septembra 2012
Wolf, Marek (2010), Continued fractions constructed from prime numbers, arXiv:1003.4015

Zunanje povezave

Domača stran projekta GIMPS, ki se ukvarja z iskanjem Mersennovih števil. (angleško)

[isthe-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Noll, Landon Curt. »Mersenne Prime Digits and Names« (v angleščini).

[Euclid-2] 2,0 ^2,1 »Euclid's Elements, knjiga IX, propozicija 36« (v angleščini). Pridobljeno 20. julija 2015.

[3] The Prime Pages, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists.

[#1-4] 4,0 ^4,1 str. 13–18 v Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#^{[mrtva povezava]}

[5] Euler (1772).

[6] ttp://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 Datum in leto odkritja nista točno znana. Možni so datumi med letoma 1752 in 1772.

[7] Caldwell, Chris K. »Modular restrictions on Mersenne divisors« (v angleščini). Primes.utm.edu. Pridobljeno 21. maja 2011.

[8] “En novembre de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre 2⁶¹ − 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. http://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [pridobljeno dne 2012-09-17] Glej tudi Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), str. 553–554. Glej tudi Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, vol. 48

[9] Powers (1911).

[10] "M. E. Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j’en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich [secretary of London Mathematical Society] pour M₁₀₇. Sur ma demande, ces deux auteurs m’ont adressé leurs remarquables résultats, et je m’empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations." str. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne str. 85, 103–108 v Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] v. 9, No. 1, 1914.

[11] "Power's cable announcing this same result was sent to the London Math. So. on 1 June 1914." Mersenne's Numbers, Scripta Mathematica, v. 3, 1935, str. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [pridobljeno dne 2012-10-13]

[12] Powers (1914).

[13] »M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?« (v angleščini). The Prime Pages..

[14] Lucas (1876).

[autogenerated4-15] 15,0 ^15,1 Lehmer (1952a). »S pomočjo standardnega testa za Mersennova praštevil s programom, ki ga je izdelal R. M. Robinson, je SWAC odkril praštevili 2⁵²¹ − 1 in 2⁶⁰⁷ − 1 30. januarja 1951. To je vodilo do 13. in 14. popolnega števila.«

[16] Lehmer (1952b). »Program opisan v opombi 131 (c) je našel 15-o Mersennovo praštevilo 2¹²⁷⁹ − 1 25. junija. SWAC je preveril to število v 13-ih minutah in 25-ih sekundah.«

[autogenerated2-17] 17,0 ^17,1 Lehmer (1952c). »Dve novi Mersennovi praštevili, 2²²⁰³ − 1 in 2²²⁸¹ − 1, je odkril računalnik SWAC 7. in 9. oktobra 1952.«

[18] Riesel (1958). »8. septembra 1957 je švedski elektronski računalnik BESK našel, da je Mersennovo število M₃₂₁₇ = 2³²¹⁷ − 1 praštevilo.«

[Hurwitz_and_Selfridge_1961-19] 19,0 ^19,1 Hurwitz; Selfridge (1961).

[autogenerated5-20] 20,0 ^20,1 Hurwitz (1962). »Če je p praštevilo se M_p = 2^p − 1 imenuje Mersennovo število. Praštevili M₄₂₅₃ in M₄₄₂₃ sta bili odkriti s programiranjem Lucas-Lehmerjevega testa za raačunalnik IBM 7090.«

[autogenerated3-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 Gillies (1964). »Praštevila M₉₆₈₉, M₉₉₄₁ in M₁₁₂₁₃, ki so sedaj največja znana praštevila, so bila odkrita z računalnikom Illiac II v Laboratoriju digitalnih računalnikov Univerze Illinoisa.«

[22] Tuckerman (1971). »Zvečer 4. marca 1971 je bil odkrit ničelni Lucas-Lehmerjev ostanek za p = p₂₄ = 19937, zato je število M₁₉₉₃₇ 24-o Mersennovo praštevilo.«

[23] Noll; Nickel (1980). »30. oktobra 1978 ob 9:40 sva odkrila, da je število M₂₁₇₀₁ praštevilo. Procesorki čas za ta test je bil 7:40:20. Tuckerman in Lehmer sta kasneje priskrbela potrditev tega rezultata.«

[24] Noll; Nickel (1980). »Od preostalih števil M_p je bilo najdeno, da je le število M₂₃₂₀₉ praštevilo. Test se je zaključil 9. februarja 1979 ob 4:06 po izvedenem procesorskem času 8:39:37. Lehmer in McGrogan sta kasneje potrdila rezultat.«

[25] Slowinski (1978–1979).

[26] Slowinski (1982). »27. Mersennovo praštevilo. Ima 13395 števk in je enako 2⁴⁴⁴⁹⁷ – 1. [...] Njegova praštevilskost je bila odkrita 8. aprila 1979 s pomočjo Lucas-Lehmerjevega testa. Test sta sprogramirala na računalniku CRAY-1 David Slowinski in Harry Nelson.« (str. 15) »Rezultat je bil, da je po uporabi Lucas-Lehmerjevega testa na približno tisoč števil koda v nedeljo 8. aprila ugotovila, da je število 2⁴⁴⁴⁹⁷ − 1 dejansko 27. Mersennovo praštevilo.« (str. 17).

[27] Colquitt; Welsh (1991). »Program s FFT, ki je vseboval 8192 kompleksnih elementov, kar je bila najmanjša zahtevana velikost za preverjanje števila M₁₁₀₅₀₃, je tekel približno 11 minut na računalniku SX-2. Odkritje števila M₁₁₀₅₀₃ (29. januar 1988) je bilo potrjeno.«

[28] Peterson (1988). »Taa teden sta dva računalniška strokovnjaka našla 31. Mersennovo praštevilo. Na njihovo začudenje novo okdrito praštevilo pade med dve predhodno znani Mersennovi praštevili. Število se pojavi pri p = 110,503, kar pomeni, da je tretje največje znano Mersennovo praštevilo.«

[29] »Mersenne Prime Numbers« (v angleščini). Omes.uni-bielefeld.de. 5. januar 2011. Pridobljeno 21. maja 2011.

[30] Higgins (1983a), Higgins (1983b). »Slowinski, računalniški inženir za Cray Research Inc. v Chipppewa Fallsu, je odkril število v nedeljo ob 11:36 [to je 19. septembra 1983].«

[31] Peterson (1985).

[32] Sallee (1985).

[33] »The finding of the 32nd Mersenne«. The Prime Pages (v angleščini).

[34] Caldwell, Chris K. »The Largest Known Primes« (v angleščini). Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2. decembra 1998.

[35] Crays press release

[36] Elektronska pošta Slowinskega

[37] Silicon Graphics' press release https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [Retrieved 2012-09-20]

[38] »A Prime of Record Size! 2^1257787-1«. The Prime Pages (v angleščini).

[39] GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime.

[40] GIMPS Discovers 36th Known Mersenne Prime.

[41] GIMPS Discovers 37th Known Mersenne Prime.

[42] GIMPS Finds First Million-Digit Prime, Stakes Claim to $50,000 EFF Award.

[43] GIMPS, Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.

[44] GIMPS, Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid.

[45] GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^24,036,583-1.

[46] GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^25,964,951-1.

[47] GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^30,402,457-1.

[48] GIMPS, Mersenne.org Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^32,582,657-1.

[mp-49] 49,0 ^49,1 »Titanic Primes Raced to Win $100,000 Research Award« (v angleščini). Pridobljeno 16. septembra 2008.

[50] »The List of Largest Known Primes Home Page« (v angleščini). Pridobljeno 18. septembra 2012.

[m48-51] 51,0 ^51,1 »GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57,885,161 − 1« (v angleščini). Great Internet Mersenne Prime Search. Pridobljeno 5. februarja 2013.

[52] »List of known Mersenne prime numbers« (v angleščini). Pridobljeno 29. novembra 2014.

[GIMPS_Milestones-53] »GIMPS Milestones Report« (v angleščini). Pridobljeno 23. maja 2015.

[54] Wolf (2010).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]