Dvojno Mersennovo število

Dvojno Mersennovo število je v matematiki Mersennovo število oblike:

$M_{{M_{p}}}\equiv 2^{{2^{{p}}-1}}-1\!\,,$

kjer je p eksponent Mersennovih praštevil.

Najmanjša dvojna Mersennova števila so (OEIS A077586):

$M_{{M_{{2}}}}=M_{{3}}=7$

$M_{{M_{{3}}}}=M_{{7}}=127$

$M_{{M_{{5}}}}=M_{{31}}=2147483647$

$M_{{M_{{7}}}}=M_{{127}}=170141183460469231731687303715884105727$ .

Dvojna Mersennova praštevila

Dvojno Mersennovo število, ki je tudi praštevilo, se imenuje dvojno Mersennovo praštevilo. Ker je Mersennovo število $M_{{p}}$ lahko praštevilo le, če je tudi p praštevilo, je dvojno Mersennovo število $M_{{M_{p}}}$ praštevilo le, če je tudi $M_{{p}}$ samo Mersennovo praštevilo. Prve vrednosti p, za katere je $M_{{p}}$ praštevilo, so (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Od teh so $M_{{M_{p}}}$ praštevila za p = 2, 3, 5, 7. Dvojna Mersennova števila za p = 13, 17, 19 in 31 so sestavljena in so znani njihovi eksplicitni prafaktorji. Tako je najmanjši kandidat za naslednje dvojno Mersennovo praštevilo $M_{{M_{{61}}}}$, ali $2^{{2305843009213693951}}-1$. Število je približno enako 1,695 · 10^{694127911065419641} in je preveliko za preveritev praštevilskosti s katerimkoli trenutno znanim testom praštevilskosti. Nima prafaktorjev manjših od 4 · 10³³.

Poseben primer dvojnih Mersennovih števil so Cantorjeva števila oblike:

$c_{{n+1}}=2^{{c_{{n}}}}-1,\quad c_{{0}}=2;\quad n\geq 0\!\,.$

Druga definicija

V zgornji definiciji je lahko p nenegativno celo število n:

$M_{{M_{n}}}\equiv 2^{{2^{{n}}-1}}-1;\quad n\geq 0\!\,,$

kar da celoštevilsko zaporedje (OEIS A077585):

0, 1, 7, 127, 32767, 2147483647, 9223372036854775807, ...

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang, Double Mersenne Number na MathWorld (v angleščini)