Dvojno Mersennovo število

Dvojno Mersennovo število je v matematiki Mersennovo število oblike:

$M_{M_{p}}\equiv 2^{2^{p}-1}-1\!\,,$$M_{M_{p}}\equiv 2^{2^{p}-1}-1\!\,,$

kjer je p eksponent Mersennovih praštevil.

Najmanjša dvojna Mersennova števila so (OEIS A077586):

$M_{M_{2}}=M_{3}=7$$M_{M_{2}}=M_{3}=7$

$M_{M_{3}}=M_{7}=127$$M_{M_{3}}=M_{7}=127$

$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$$M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ .

Dvojna Mersennova praštevila

Dvojno Mersennovo število, ki je tudi praštevilo, se imenuje dvojno Mersennovo praštevilo. Ker je Mersennovo število $M_{p}$$M_{p}$ lahko praštevilo le, če je tudi p praštevilo, je dvojno Mersennovo število $M_{M_{p}}$$M_{M_{p}}$ praštevilo le, če je tudi $M_{p}$$M_{p}$ samo Mersennovo praštevilo. Prve vrednosti p, za katere je $M_{p}$$M_{p}$ praštevilo, so (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Od teh so $M_{M_{p}}$$M_{M_{p}}$ praštevila za p = 2, 3, 5, 7. Dvojna Mersennova števila za p = 13, 17, 19 in 31 so sestavljena in so znani njihovi eksplicitni prafaktorji. Tako je najmanjši kandidat za naslednje dvojno Mersennovo praštevilo $M_{M_{61}}$$M_{M_{61}}$, ali $2^{2305843009213693951}-1$$2^{2305843009213693951}-1$. Število je približno enako 1,695 · 10^{694127911065419641} in je preveliko za preveritev praštevilskosti s katerimkoli trenutno znanim testom praštevilskosti. Nima prafaktorjev manjših od 4 · 10³³.

Poseben primer dvojnih Mersennovih števil so Cantorjeva števila oblike:

$c_{n+1}=2^{c_{n}}-1,\quad c_{0}=2;\quad n\geq 0\!\,.$$c_{n+1}=2^{c_{n}}-1,\quad c_{0}=2;\quad n\geq 0\!\,.$

Druga definicija

V zgornji definiciji je lahko p nenegativno celo število n:

$M_{M_{n}}\equiv 2^{2^{n}-1}-1;\quad n\geq 0\!\,,$$M_{M_{n}}\equiv 2^{2^{n}-1}-1;\quad n\geq 0\!\,,$

kar da celoštevilsko zaporedje (OEIS A077585):

0, 1, 7, 127, 32767, 2147483647, 9223372036854775807, ...

Viri

• Forbes, Tony. "A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008" (angleščina). Pridobljeno dne 2008-10-22. 

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. "Double Mersenne Number" (angleščina). MathWorld.