Dirichletova funkcija eta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Barvna predstavitev Dirichletove funkcije v kompleksni ravnini. Barva točke odkriva vrednost funkcije . Temnejše barve označujejo vrednosti blizu nič, odtenek pa argument vrednosti. Ustvarjena je s tiskalniško knjižnico matplotlib z različico metode domenskega barvanja.[1]

Dirichletova funkcija eta (običajna označba ) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil specialna funkcija definirana kot Dirichletova vrsta, ki konvergira za vsako kompleksno število z realnim delom večjim od 0:

Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu. Ta Dirichletova vrsta je alternirajoča vsota, ki odgovarja razvoju Riemannove funkcije ζ(s) v Dirichletovo vrsto. Zaradi tega je Dirichletova funkcija η znana tudi kot alternirajoča funkcija zeta, označena tudi kot .[2] Velja naslednja preprosta zveza:

Čeprav razvoj Dirichletove funkcije η v Dirichletovo vrsto konvergira le za vsako kompleksno število s z realnim delom večjim od 0, njegova Abelova vsota obstaja za poljubno kompleksno število. Zaradi tega se lahko Dirichletova funkcija η definira kot cela funkcija. Zgornja zveza tako kaže, da je Riemannova funkcija ζ meromorfna z enostavnim polom v točki s = 1 in morda v polih v drugih ničlah s faktorjem .

Enakovredno se lahko definira:

kjer je Γ(s) funkcija Γ. Tako določena funkcija je definirana tudi v območju pozitivnega realnega dela. To da Dirichletovo funkcijo η kot Mellinova transformacija.

Hardy je dal preprost dokaz funkcijske enačbe za Dirichletovo funkcijo η:

Od tod neposredno izhaja tudi funkcijska enačba za Riemannovo funkcijo ζ, kakor tudi drug način za razširitev definicije Dirichletove funkcije η na celotno kompleksno ravnino.

Eulerjev produkt za Dirichletovo funkcijo η[uredi | uredi kodo]

Pomembnost Dirichletove funkcije η v teoriji števil je podobno kot Riemannove funkcije ζ v njeni povezanosti s praštevili, ki jo za podaja neskončni Eulerjev produkt:

Ničle Dirichletove funkcije η[uredi | uredi kodo]

Ničle Dirichletove funkcije η vsebujejo vse ničle Riemannove funkcije ζ: za neskončno mnogo negativnih sodih celih števil (realne enako oddaljene enostavne (trivialne) ničle); neskončno mnogo ničel vzdolž kritične premice, od katerih je znano, da ni nobena mnogokratna, in več kot 40 %, za katere se je dokazalo, da so enostavne, in domnevne ničle na kritičnem traku in ne tudi na kritični premici. Če zadnje obstajajo, morajo ležati na ogliščih pravokotnikov simetrično okrog osi x in kritične premice, njihova multiplikativnost pa ni znana. Poleg tega faktor doda neskončno mnogo kompleksni enostavnih ničel, ki ležijo na enako oddaljenih točkah na premici , v , kjer je n neničelno celo število.

Po Riemannovi domnevi naj bi ničle Dirichletove funkcije η ležale simetrično glede na realno os na dveh vzporednih premicah , in na pravokotnem poltraku, ki ga tvori negativna realna os.

Landauov problem z ζ(s) = η(s)/0 in rešitve[uredi | uredi kodo]

V enačbi η(s) = (1−21−s) ζ(s) se »pol funkcije ζ(s) v točki s = 1 izniči z ničlo drugega faktorja,«[3] tako, da vrednost η(1) ni niti neskončna niti enaka 0. Vendar mora v enačbi:

funkcija η biti enaka 0 v vseh točkah , kjer je števec enak 0, če je Riemannova funkcija ζ tam analitična in končna. Na problem dokazovanja tega brez vnaprejšnje definicije Riemannove funkcije ζ je opozoril Landau v svoji razpravi o teoriji ševil iz leta 1909: »Ali je vrsta η različna od 0 ali ne v točkah , oziroma ali so to poli ali ne, tukaj ni takoj razvidno.«[4]

Prvo rešitev Landauovega problema je skoraj 40 let kasneje objavil Widder v svoji knjigi The Laplace Transform.[5] Uporabil je naslednje praštevilo 3 namesto 2 za definicijo Dirichletove vrste, ki je podobna funkciji η. Tako definirana funkcija se imenuje funkcija in je definirana za z nekaterimi ničlami tudi na , vendar te niso enake kot tiste pri funkciji η.