Dirichletova funkcija lambda

Dirichletova funkcija lambda $\lambda (s)\,$ je v matematiki specialna funkcija definirana kot Dirichletova L-vsota:

$\lambda (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{s}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s),\qquad (\Re (s)>1)\!\,,$

kjer je $\zeta (s)\,$ Riemannova funkcija ζ. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu.

Značilnosti

Dirichletova funkcija $\lambda \,$ je povezana z Riemannovo funkcijo ζ in Dirichletovo funkcijo η kot:

${\frac {\lambda (s)}{2^{s}-1}}={\frac {\zeta (s)}{2^{s}}}={\frac {\eta (s)}{2^{s}-2}}\!\,$

in:

$2\lambda (s)=\zeta (s)+\eta (s)\!\,.$

Dirichletova funkcija $\lambda \,$ je posebni primer Legendrove funkcije $\chi _{\nu }(z)\,$ za $z=1\,$:

$\chi _{n}(1)=\lambda (n)=\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\zeta (n)=\left(1+{\frac {1}{2^{n}-2}}\right)\eta (n)\!\,.$

Posebne vrednosti Dirichletove funkcije λ

Za soda pozitivna cela števila velja:

$\lambda (2n)=\left(2^{2n}-1\right){\frac {(-1)^{n-1}B_{2n}\pi ^{2n}}{2(2n)!}},\qquad (n\in \mathbb {N} )\!\,,$

kjer so B_2n Bernoullijeva števila.

Za liha pozitivna cela števila velja:

$\lambda (2n+1)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\lambda (2n-2k+2)\right)+(-1)^{n}\beta (1)J(2n),\qquad (n\in \mathbb {N} )\!\,,$

kjer je $\beta (s)\,$ Dirichletova funkcija β, $J(s)\,$ pa integralska funkcija:

$J(s)={\frac {1}{\Gamma (s+1)}}{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{s}}{\sin x}}\mathrm {d} x\!\,,$

kjer je $\Gamma (s)\,$ funkcija Γ.

$\lambda (-3)=-7\zeta (-3)=-{\frac {7}{120}}=-0,058{\overline {3}}\!\,.$

$\lambda (-1)=-\zeta (-1)={\frac {1}{12}}=0,08{\overline {3}}\!\,.$

$\lambda (0)=0\!\,.$

$\lambda (1/2)=\left(1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\zeta (1/2)=-0,427727932693\ldots \!\,.$

$\lambda (1)=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\infty \!\,.$

$\lambda (3/2)=1,688761186655\ldots \!\,.$

$\lambda (2)=1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}=1,233700550136\ldots \!\,,$ (OEIS A111003).

$\lambda (3)=\lambda (2)J(1)-\beta (1)J(2)={\frac {7\zeta (3)}{8}}=1,051799790264\ldots \!\,.$

$\lambda (4)=1+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}=1,014678031604\ldots \!\,.$

$\lambda (5)=\lambda (4)J(1)-\lambda (2)J(3)+\beta (1)J(4)={\frac {31\zeta (5)}{32}}=1,004523762795\ldots \!\,.$

$\lambda (6)=1+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}=1,001447076640\ldots \!\,.$

$\lambda (7)=\lambda (6)J(1)-\lambda (4)J(3)+\lambda (2)J(5)-\beta (1)J(6)={\frac {127\zeta (7)}{128}}=1,000471548652\ldots \!\,.$

Velja tudi zveza:

$\log D=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{2n+1}}{n}}\left({\frac {2D}{\pi }}\right)^{2n}\lambda (2n)\!\,,$

kjer je $D\,$ Dottiejino število.

Glej tudi

• Dirichletova funkcija beta
• Legendrova funkcija hi
• Kepler-Bouwkampova konstanta

Viri

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Anne (1972). "Riemann Zeta Function and other Sums of Recirocal Powers. §23.2". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. izd.). New York: Dover. str. 807–808. ISBN 978-0486612720. MR 0167642.  Glej razdelek §23.2
• Cvijović, Djurdje (2007). "Integral representations of the Legendre chi function". J. Math. Anal. Appl. 332: 1056–1062. arXiv:0911.4731. doi:10.1016/j.jmaa.2006.10.083. 
• Kim, JeonWon (2014). "Functional Equations related to the Dirichlet lambda and beta functions". arXiv:1404.5467 [math:NT]. 
• Maresh, Owen (2011-02-11). "the logarithm of the dottie number and Dirichlet’s lambda function". tsungfruve.wordpress.com (angleščina). Pridobljeno dne 2015-06-13. 
• Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987). An Atlas of Functions. New York: Hemisphere. 

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Lambda Function". MathWorld (angleščina).