Legendrova funkcija hi

Legendrova funkcija hi (običajna označba $\chi _{\nu }(z)\,$) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}},\qquad (|z|\leq 1,\Re (\nu )>1,\nu \in \{0,\mathbb {Z} ^{+}\})\!\,.$

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:

${\begin{aligned}\chi _{\nu }(z)&={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]\\&=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-2^{-\nu }\operatorname {Li} _{\nu }\left(z^{2}\right)\!\,.\end{aligned}}$

Legendrova funkcija $\chi _{\nu }(z)\,$ se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q) in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija $\chi _{\nu }(z)\,$ je posebni primer Lerchevega transcendenta $\Phi (z,s,\alpha )\,$ in je na ta način podana kot:

$\chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2)\!\,.$

Značilnosti

Posebne vrednosti Legendrove funkcije χ_ν

$\chi _{0}(1)=\lambda (0)=0\!\,,$ kjer je $\lambda (n)\,$ Dirichletova funkcija λ.

$\chi _{2}(i)=i\beta (2)=iG\!\,,$ kjer je $i\,$ imaginarna enota, $\beta (n)\,$ Dirichletova funkcija β, $G\,$ pa Catalanova konstanta.

$\chi _{2}(-1)=\chi _{2}(1)\!\,.$

$\chi _{2}\left({\sqrt {5}}-2\right)={\frac {\pi ^{2}}{24}}-{\frac {3}{4}}\left(\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)\right)^{2}=0,237559901279\ldots \!\,.$

$\chi _{2}\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {1}{4}}\left(\ln({\sqrt {2}}+1)\right)^{2}=0,422645425094\ldots \!\,.$

$\chi _{2}(1/2)=0,515327366694\ldots \!\,.$

$\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)=\chi _{2}(\Phi -1)={\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {3}{4}}\left(\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)\right)^{2}=0,648793417991\ldots \!\,,$ kjer je $\Phi \,$ število zlatega reza.

$\chi _{2}\left({\sqrt {3}}-3/4\right)=1,029963554710\ldots \!\,.$

$\chi _{2}(1)=\lambda (2)=1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}=1,233700550136\ldots \!\,,$ (OEIS A111003).

$\chi _{3}(1/2)=0,504905519133\ldots \!\,.$

$\chi _{3}(1)={\frac {7\zeta (3)}{8}}=1,051799790264\ldots \!\,,$ kjer je $\zeta (n)\,$ Riemannova funkcija ζ, (OEIS A233091).

$\chi _{4}(1)=\lambda (4)=1+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}=1,014678031604\ldots \!\,.$

$\chi _{5}(1)={\frac {31\zeta (5)}{32}}=1,004523762795\ldots \!\,.$

In v splošnem:

$\chi _{n}(1)=\lambda (n)=\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\zeta (n)=\left(1+{\frac {1}{2^{n}-2}}\right)\eta (n)\!\,,$ kjer je $\eta (n)\,$ Dirichletova funkcija η.

$\chi _{n}(i)=i\beta (n)\!\,.$

Za liha pozitivna cela števila velja zveza :

$\chi _{2n+1}(1)=\lambda (2n+1)=\left(1-{\frac {1}{2^{2n+1}}}\right)\zeta (2n+1),\qquad (n\geq 1)\!\,.$

Enakosti

$\chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}|\ln x|,\qquad (x>0)\!\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {{\operatorname {arc\,tanh} \,}x}{x}}\!\,.$

Integralski izrazi

$\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {arc\,sin} (r\sin \theta )\mathrm {d} \theta =\chi _{2}\left(r\right)\!\,,$

$\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {arc\,tg} (r\sin \theta )\mathrm {d} \theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)\!\,,$

$\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {arc\,tg} (p\sin \theta )\operatorname {arc\,tg} (q\sin \theta )\mathrm {d} \theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)\!\,,$

$\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta ),\qquad (|\alpha \beta |\leq 1)\!\,.$

Viri

• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1999), »Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments«, Mathematics of Computation, 68 (228): 1623–1630, doi:10.1090/S0025-5718-99-01091-1, MR 1648375
• Cvijović, Djurdje (2007). »Integral representations of the Legendre chi function«. J. Math. Anal. Appl. Zv. 332. str. 1056–1062. arXiv:0911.4731. doi:10.1016/j.jmaa.2006.10.083.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Legendre's Chi Function«. MathWorld.
• Mathematics Stack Exchange (angleško)