Dirichletova funkcija beta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf Dirichletove funkcije beta y(x)=\beta(x) na intervalu [−8, 8]

Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba \beta(s)) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:[1]

 \beta (s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}} {(2n+1)^{s}} = 1-\frac1{3^{s}}+\frac1{5^{s}}-\frac1{7^{s}}+\frac1{9^{s}}-+\ldots \!\, ,

ali enakovredno kot:

 \beta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}} \, \mathrm{d} x \!\, ,

kjer je \Gamma(s) funkcija Γ. V obeh primerih je \Re(s) > 0\, .

S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:[2]

 \beta (s) = \frac{1}{4^{s}} \left[ \zeta \left( s, \frac{1}{4} \right) - \zeta \left( s, \frac{3}{4} \right) \right] \!\, ,

na celi kompleksni s\, -ravnini.

Z Lerchevim transcendentom je določena kot:

 \beta (s) = \frac{\Phi \left( -1,s,{\frac{1}{2}} \right) }{2^{s}} \!\, ,

ki spet velja za vse kompleksne vrednosti s\, .

Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:

 \beta(s) = \frac{1}{2^{s}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{ \left( n+\frac{1}{2} \right) ^{s}} = \frac1{(-2)^{2s}(s-1)!} \left[ \psi^{(s-1)} \left( \frac{1}{4} \right) -\psi^{(s-1)} \left( \frac{3}{4} \right) \right] \!\, .

Funkcijska enačba[uredi | uredi kodo]

Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine \Re(s) < 0\, . Dana je z:

 \beta (s) = \left( \frac{\pi}{2} \right) ^{s-1} \Gamma (1-s) \cos \frac{\pi s}{2}\,\beta (1-s) \!\, .

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Posebne vrednosti Dirichletove funkcije β[uredi | uredi kodo]

Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:

 \beta (0) = \frac{1}{2} \!\, ,
 \beta (1) = \operatorname{arc\, tg}\, 1 = \frac{\pi}{4} = {0},7853981633974 \ldots \!\, , (OEIS A003881),
 \beta (2) = G = {0},9159655941772 \ldots \!\, , Catalanova konstanta, (OEIS A006752),
 \beta (3) = \frac{\pi^3}{32} = {0},9689461462593 \ldots \!\, , (OEIS A153071),
 \beta (4) = \frac{1}{768} \left[ \psi_{3} \left( \frac{1}{4} \right) -8\pi^{4} \right] = {0},9889445517411 \ldots \!\, , (OEIS A175572),
 \beta (5) = \frac{5\pi^5}{1536} = {0},9961578280770 \ldots \!\, , (OEIS A175571),
 \beta (7) = \frac{61\pi^7}{184320} = {0},9995545078905 \ldots \!\, , (OEIS A258814),

kjer je zgoraj \psi_{3} (1/4)\, zgled funkcije poligama.

Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe s\, , \beta(s) racionalni mnogokratnik \pi^{s}, torej za poljubno pozitivno celo število k\, :

 \beta (2k+1)= \frac{(-1)^{k} E_{2k} \pi^{2k+1}} {4^{k+1}(2k)!} \!\, ,

kjer so  \!\ E_{n} Eulerjeva števila. Za celo število k \ge 0\, velja:

 \beta (-k) = \frac{E_{k}}{2} \!\, ,

oziroma:

 \beta (-2k) = \frac{E_{2k}}{2} \!\, ,

Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:

 \beta (-2k-1) = 0 \!\, .
s približne vrednosti β(s) OEIS
1/5 0,5737108471859466493572665
1/4 0,5907230564424947318659591
1/3 0,6178550888488520660725389
1/2 0,6676914571896091766586909 A195103
1 0,7853981633974483096156608 A003881
2 0,9159655941772190150546035 A006752
3 0,9689461462593693804836348 A153071
4 0,9889445517411053361084226 A175572
5 0,9961578280770880640063194 A175571
6 0,9986852222184381354416008 A175570
7 0,9995545078905399094963465 A258814
8 0,9998499902468296563380671 A258815
9 0,9999496841872200898213589 A258816
10 0,9999831640261968774055407

Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: \beta (2)\, , \beta (4)\, , \beta(6)\, , \beta (8)\, , \beta (10)\, , \beta (12)\, ali \beta (14)\, iracionalno.[3]

Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:[4]

 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2} y^{2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \Gamma (s+2) \beta (s+2) \!\, .

Odvod[uredi | uredi kodo]

Odvod za vse \Re (s) > 0\, je dan z:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \beta (s) \equiv \beta^{\prime} (s) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{\ln(2n+1)}{(2n+1)^{s}} \!\, .

Nekatere posebne vrednosti odvodov:

\beta^{\prime} (-1)= \frac{2G}\pi = 0{,}5831218080616 \ldots \!\, ,
\beta^{\prime} (0) = \ln\frac{\Gamma^{2}(1/4)}{2\pi\sqrt2} = 0{,}3915943927068 \ldots \!\, , (OEIS A113847),
\beta^{\prime} (1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right) = 0{,}1929013167969 \ldots \!\, , , (OEIS A078127).

Za pozitivna cela števila n\, velja še naprej:

 \sum_{k=1}^{\infty} \ln\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}} = -\beta^{\prime} (n) \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Abramowitz; Stegun (1972), str. 807.
  2. ^ "Dirichlet Beta - Hurwitz zeta relation". Engineering Mathematics (v angleščini). 2012-11-08. Pridobljeno dne 2015-07-25. 
  3. ^ Rivoal; Zudilin (2003).
  4. ^ Guillera; Sondow (2008).

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezaave[uredi | uredi kodo]