Variacijski račun

Variacíjski račún je področje matematične analize, ki obravnava ekstreme določenih integralov. Naloga variacijskega računa je poiskati neznano funkcijo, pri kateri ima določeni integral ekstrem. Variacijski račun se ukvarja s funkcionali, z razliko od navadnega infinitezimalnega računa, ki se ukvarja s funkcijami. Funkcionali se lahko tvorijo kot integrali, ki vsebujejo neznano funkcijo ali svoje primitivne funkcije. Pomembne so ekstremne vrednosti funkcij, pri katerih ima funkcional največjo ali najmanjšo vrednost.

Morda je najpreprostejši zgled takšnega problema poiskati krivuljo z najkrajšo dolžino, ki povezuje dve točki. Če ni omejitev, je rešitev očitno daljica med njima. Če pa krivulja na primer leži na ploskvi v prostoru, rešitev ni več tako očitna, in lahko morda obstaja več rešitev. Takšne rešitve so geodetke. Sorodni problem podaja Fermatovo načelo: pot svetlobe je najkrajša optična dolžina med dvema točkama, kjer je optična dolžina odvisna od snovi, v kateri se svetloba giblje. Ustrezen pojem iz mehanike je načelo najmanjše akcije. Teorija optimalnega krmiljenja obravnava posebno vrsto problemov variacijskega računa.

V več pomembnih problemih se pojavijo funkcije več spremenljivk. Za rešitve problemov robnih pogojev Laplaceove enačbe velja Dirichletovo načelo. Plateaujev problem išče najmanjšo površino, ki jo ima ploskev, napeta na dan obris v prostoru. Rešitev ali rešitve je moč praktično najti s potopitvijo žičnega okvirja v milnico. Čeprav so takšni poskusi preprosti, je njihov matematični zapis vse prej kot takšen. Obstaja lahko več ploskev, katerih površine so lokalno najmanjše, in imajo lahko netrivialno topologijo.

Euler-Lagrangeeva enačba

Pri idealnih pogojih se lahko maksimum ali minimum dane funkcije najdeta z iskanjem točk, kjer je odvod enak nič. Podobno se lahko rešijo gladki variacijski problemi z rešitvijo pripadajoče Euler-Lagrangeeve enačbe. Obravnavajmo problem iskanja najkrajše krivulje v ravnini, ki povezuje dve točki $(x_{1},y_{1})$ in $(x_{2},y_{2})$. Dolžina loka je podana z:

$A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\!\,,$

kjer je:

$f'(x)={\frac {df}{dx}},\!\,$

in $y=f(x)$, $f(x_{1})=y_{1}$ ter $f(x_{2})=y_{2}$. Funkcija $f(x)$ naj ima vsaj en odvod. Če je $f_{0}$ lokalni minimum, in je $f_{1}$ poljubna funkcija, ki je v končnih točkah $x_{1}$ in $x_{2}$ enaka 0, in ima vsaj en odvod, potem mora veljati:

$A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]\!\,$

za poljubno število ε blizu 0. Potem je odvod $A[f_{0}+\epsilon f_{1}]$ po ε (prva variacija A) enak 0 pri ε = 0. Tako je:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}dx=0\!\,$

za poljubno izbiro funkcije $f_{1}$. Ta pogoj si lahko razlagamo tako da so vsi smerni odvodi $A[f_{0}]$ enaki nič v prostoru odvedljivih funkcij. V strogem smislu mora biti Fréchetov odvod A enak 0 v $f_{0}$. Če predpostavimo, da ima $f_{0}$ dva zvezna odvoda (ali, če upoštevamo šibke odvode), potem lahko integriramo po delih:

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\!\,$

z uvedbo nove spremenljivke:

$u(x)={\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}},\quad v'(x)=f_{1}'(x)\!\,$

imamo:

$\left[u(x)v(x)\right]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0\!\,,$

kjer je prvi člen enak 0, saj smo izbrali takšno $v(x)=f_{1}(x)$, da je v $x_{1}$ in $x_{2}$ enaka 0, kjer smo integrirali. Zato:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0\!\,$

za vsako dvakrat odvedljivo funkcijo $f_{1}$, ki je v mejnih točkah intervala enaka 0. To je posebni primer osnovne leme variacijskega računa:

$I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x)H(x)dx=0\!\,$

za vsako odvedljivo funkcijo $f_{1}(x)$, ki je v mejnih točkah intervala enaka 0. Ker je $f_{1}(x)$ poljubna funkcija znotraj integracijskega območja, sklepamo da je $H(x)=0$. Zaradi tega je:

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0\!\,.$

Iz te enačbe sledi:

${\frac {d^{2}f_{0}}{dx^{2}}}=0\!\,,$

ekstremala pa sta premici.

Podobno velja račun v splošnem, kjer je:

$A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')dx\!\,,$

kjer mora f imeti dva zvezna odvoda. Ekstremne vrednosti $f_{0}$ dobimo, če postavimo $f=f_{0}+\epsilon f_{1}$, odvajamo po ε in na koncu enačimo $\epsilon =0$:

${\begin{aligned}\left.{\frac {dA}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}f_{1}+{\frac {\partial L}{\partial f'}}f'_{1}\right)dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}f_{1}-f_{1}{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}f_{1}\right|_{x_{1}}^{x_{2}}\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)dx\\&=0.\end{aligned}}$

Tu smo v drugi vrstici uporabili verižno pravilo za odvod in v tretji integrirali po delih. Kot prej, je zadnji člen v tretji vrstici enak 0, ker smo tako izbrali $f_{1}$. Po osnovni lemi variacijskega računa na koncu ugotovimo, da za $L$ velja Euler-Lagrangeeva enačba:

$-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0\!\,$

V splošnem na ta način dobimo navadno diferencialno enačbo 2. reda, ki jo lahko rešimo za esktrem $f$. Euler-Lagrangeeva enačba je za ekstrem potreben, ne pa zadosten pogoj.

Beltramijeva enakost

Pri fizikalnih problemih je velikokrat $\partial L/\partial x=0$. V tem primeru se Euler-Lagrangeeva enačba poenostavi z Beltramijevo enakostjo:

$L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\!\,,$

kjer je $C$ konstanta.

Du Bois-Reymondov izrek

Do sedaj smo privzeli, da imajo ekstremalne funkcije dva zvezna odvoda, čeprav obstoj integrala A zahteva le prve odvode poskusnih funkcij. Pogoj, da je prva variacija v eksstremni vrednosti enaka 0, imamo lahko za šibko obliko Euler-Lagrangeeve enačbe. Du Bois-Reymondov izrek pravi, da ta šibka oblika vsebuje močno obliko. Če ima L zvezne prve in druge odvode po vseh svojih argumentih, in če velja:

${\frac {\partial ^{2}L}{(\partial f')^{2}}}\neq 0\!\,,$

potem ima $f_{0}$ dva zvezna odvoda in zanjo velja Euler-Lagrangeeva enačba.

Fermatovo načelo

Po Fermatovem načelu svetloba potuje po poti, ki je lokalni minimum optične dolžine med dvema točkama. Če izberemo x-koordinato za parameter vzdolž poti in je $y=f(x)$ vzdolž poti, je optična dolžina dana z:

$A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx\!\,,$

kjer je lomni količnik $n(x,y)$ odvisen od snovi. Če poskusimo z $f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)$, je prva variacija A (odvod A po ε) enaka:

$\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}\right]dx\!\,.$

Z integracijo po delih prvega člena znotraj oklepajev, dobimo Euler-Lagrangeevo enačbo:

$-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0})=0\!\,.$

Pot svetlobnih žarkov dobimo z integracijo te enačbe.

Lomni zakon

Ko svetloba vstopa ali zapušča lečo, je lomni količnik nezvezen. Naj je:

$n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{pri}}\quad x<0\!\,,$

$n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{pri}}\quad x>0\!\,,$

kjer sta $n_{-}$ in $n_{+}$ konstanti. Potem Euler-Lagrangeeva enačba velja kot prej v območju, kjer je x<0 ali x>0, in je tam pot dejansko premica, saj je lomni količinik konstanta. V x=0 mora biti f zvezna, lahko pa je nezvezna. Z integracijo po delih v ločenih območjih in z Euler-Lagrangeevimi enačbami, ima prva variacija obliko:

$\delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]\!\,.$

Faktor množenja $n_{-}$ je sinus kota vpadnega žarka z x-osjo, faktor množenja $n_{+}$ pa je sinus kota lomljenega žarka z x-osjo. Po lomnem zakonu so ti členi enaki. Lomni zakon je enakovreden dejstvu da je prva variacija optične dolžine enaka 0.

Fermatovo načelo v treh razsežnostih

Z vektorskim zapisom dobimo priročno orodje. Naj je $X=(x_{1},x_{2},x_{3}),$ t parameter, $X(t)$ parametrična oblika krivulje C in ${\dot {X}}(t)$ njen tangentni vektor. Optična dolžina krivulje je:

$A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}dt\!\,.$

Integral je invarianta glede na spremembe parametrične oblike C. Euler-Lagrangeeve enačbe za minimalno krivuljo imajo sismtrično obliko:

${\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\nabla n\!\,,$

kjer je:

$P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}\!\,.$

Iz definicije izhaja, da za P velja:

$P\cdot P=n(X)^{2}\!\,.$

Tako lahko integral zapišemo tudi kot:

$A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt\!\,.$

Ta oblika napeljuje na misel, da če lahko najdemo funkcijo ψ, katere gradient je dan z P, potem je integral A dan z razliko ψ v mejnih točkah integracijskega intervala. Tako lahko problem iskanja krivulj, za katere je integral stacionaren, povežemo z iskanjem nivojskih ploskev ψ. Da najdemo takšno funkcijo, pogledamo valovno enačbo, ki opiše gibanje svetlobe.

Povezava z valovno enačbo

Valovna enačba nehomogone snovi je:

$u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,\!\,,$

kjer je c hitrost, ki je v splošnem odvisna od X. Valovna čela za svetlobo so karakteristične ploskve te parcialne diferencialne enačbe. Zanje velja:

$\varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \!\,.$

Rešitve bodo imele obliko:

$\varphi (t,X)=t-\psi (X)\!\,.$

V tem primeru za ψ velja:

$\nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2}\!\,,$

kjer je $n=1/c$. Po teoriji parcialnih enačb 1. reda, če velja $P=\nabla \psi$, potem za P velja:

${\frac {dP}{ds}}=2n\nabla n,\!\,$

vzdolž sistema krivulj (svetlobnih žarkov), ki so podani z:

${\frac {dX}{ds}}=P\!\,.$

Te enačbe za rešitev parcialne diferencialne enačbe 1. reda so istovetne Euler-Lagrangeevim enačbam, če postavimo:

${\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}\!\,.$

Vidimo, da je funkcija ψ vrednost minimalnega integrala A kot funkcije zgornje mejne točke. To pomeni, da kadar konstruiramo družino minimalnih krivulj, za optične dolžine velja karakteristična enačba, ki odgovarja valovni enačbi. Zato je reševanje ustrezne parcialne difrencialne enačbe 1. reda enakovredno iskanju družine rešitev variacijskega problema. To je bistvena vsebina teorije Hamilton-Jacobijevih enačb, ki obravnava splošneješe variacijske probleme.