Samoštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Sámoštevílo ali Kolumbijevo število je v matematiki pozitivno celo število, ki ga v dani osnovi ne moremo tvoriti z nekim drugim celim številom, seštetim s svojimi števkami. Število 21, na primer, ni samoštevilo, ker ga lahko dobimo iz vsote števila 15 in njegovih števk, oziroma 21 = 15 + 1 + 5. Za število 20 takšna vsota ne obstaja in zato je 20 samoštevilo. Samoštevila je prvi raziskoval leta 1949 indijski matematik Šri Datatreja Ramačandra Kaprekar (1905-1986). Prva samoštevila v desetiškem sestavu so (OEIS A003052):

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525, ...

Pri sodih osnovah so v splošnem vsa soda števila, manjša od osnove, samoštevila, ker mora vsako število manjše od lihega števila biti tudi enomestno in, če ga seštejemo z njego števko, da liho število. Za lihe osnove so vsa liha števila samoštevila.

Naslednja rekurenčna enačba daje samoštevila za osnovo 10:

C_k = 8 \cdot 10^{k - 1} + C_{k - 1} + 8 \!\, ,

kjer je C1 = 9 in k > 1.

Podobno za dvojiška števila:

C_k = 2^j + C_{k - 1} + 1 \!\, ,

kjer j teče po številu števk, C1 = 1 in k > 0. To rekurenčno enačbo lahko posplošimo za samoštevila v poljubni osnovi b:

C_k = (b - 2)b^{k - 1} + C_{k - 1} + (b - 2) \!\, ,

kjer je C1 = b - 1 za sode osnove in C1 = b - 2 za lihe, ter k > 1.

Te rekurenčne enačbe kažejo, da v poljubni osnovi obstaja neskončno mnogo samoštevil.

Obstajajo tudi praštevilska samoštevila. Prva so (OEIS A006378):

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, ...