Perronova enačba
Perronova enačba je v matematiki, oziroma v analitični teoriji števil, enačba, ki podaja vsoto aritmetične funkcije z obratno Mellinovo transformacijo. Enačbo je izpeljal nemški matematik Oskar Perron.
Definicija
[uredi | uredi kodo]Naj je aritmetična funkcija in naj je:
pripadajoča Dirichletova vrsta. Privzame se, da je Dirichletova vrsta absolutno konvergentna za . Perronova enačba je potem:
Tukaj zvezdica pri vsoti označuje, da je treba zadnji člen vsote pomnožiti z 1/2, kadar je x celo število. Enačba zahteva, da sta za in realni, drugače pa poljubna. Enačba velja za
Dokaz
[uredi | uredi kodo]Preprost očrt dokaza izhaja iz enačbe za Abelovo vsoto:
To je Laplaceova transformacija pri spremembi spremenljivke . Inverz da Perronovo enačbo.
Zgledi
[uredi | uredi kodo]Ker je enačba v splošnem povezana z Dirichletovimi vrstami, se običano uporablja pri mnogih vsotah iz teorije števil. Riemannova funkcija zeta je enaka integralu:
Podobna je enačba za Dirichletove L-funkcije:
kjer je:
in Dirichletov karakter. Perronova enačba se pojavlja tudi pri Mertensovi funkciji ali von Mangoldtovi funkciji.
Posplošitev na več spremenljivk
[uredi | uredi kodo]Posplošitev enačbe na več spremenljivk je leta 2007 najavil angleški matematik sir Peter Swinnerton-Dyer.
Viri
[uredi | uredi kodo]- ^ Apostol, Tom Mike (2010). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. str. 243. COBISS 18018312. ISBN 978-1-4419-2805-4. MR 0434929. Zbl 0335.10001.
- Weisstein, Eric Wolfgang. »Perron's Formula«. MathWorld.