Perronova enačba

Perronova enačba je v matematiki, oziroma v analitični teoriji števil, enačba, ki podaja vsoto aritmetične funkcije z obratno Mellinovo transformacijo. Enačbo je izpeljal nemški matematik Oskar Perron.

Definicija

Naj je $\{a(n)\}$ aritmetična funkcija in naj je:

$g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}$

pripadajoča Dirichletova vrsta. Privzamemo, da je Dirichletova vrsta absolutno konvergentna za $\Re(s)>\sigma_{a}$. Perronova enačba je potem:

$A(x) = {\sum_{n\le x}}^{\star} \frac{a(n)}{n^s} =\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \mathrm{d} z\; g(s+z)\frac{x^{z}}{z} \!\, .$

Tukaj zvezdica pri vsoti označuje, da je treba zadnji člen vsote pomnožiti z 1/2, kadar je x celo število. Enačba zahteva, da sta za $c>0$ in $x>0$ realni, drugače pa poljubna. Enačba velja za $\Re(s)>\sigma_a - c$

Dokaz

Preprost očrt dokaza izhaja iz enačbe za Abelovo vsoto:

$g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} x A(x)x^{-(s+1) } \!\, .$

To je Laplaceova transformacija pri spremembi spremenljivke $x=e^{t}$. Inverz da Perronovo enačbo.

Zgledi

Ker je enačba v splošnem povezana z Dirichletovimi vrstami, se običano uporablja pri mnogih vsotah iz teorije števil. Riemannova funkcija zeta je enaka integralu:

$\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\, \mathrm{d} x \!\, .$

Podobna je enačba za Dirichletove L-funkcije:

$L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\, \mathrm{d} x \!\, ,$

kjer je:

$A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)$

in $\chi(n)$ Dirichletov karakter. Perronova enačba se pojavlja tudi pri Mertensovi funkciji ali von Mangoldtovi funkciji.

Posplošitev na več spremenljivk

Posplošitev enačbe na več spremenljivk je leta 2007 najavil angleški matematik sir Peter Swinnerton-Dyer.

Viri

• ^  Apostol, Tom Mike (2010). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. Str. 243. ISBN 978-1-4419-2805-4. COBISS 18018312. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. Perronova enačba (v angleščini). Na MathWorld