Perronova enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Perronova enačba je v matematiki, oziroma v analitični teoriji števil, enačba, ki podaja vsoto aritmetične funkcije z obratno Mellinovo transformacijo. Enačbo je izpeljal nemški matematik Oskar Perron.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj je \{a(n)\} aritmetična funkcija in naj je:

 g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}

pripadajoča Dirichletova vrsta. Privzamemo, da je Dirichletova vrsta absolutno konvergentna za \Re(s)>\sigma_{a}. Perronova enačba je potem:

 A(x) = {\sum_{n\le x}}^{\star} \frac{a(n)}{n^s}  
=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \mathrm{d} z\; g(s+z)\frac{x^{z}}{z} \!\, .

Tukaj zvezdica pri vsoti označuje, da je treba zadnji člen vsote pomnožiti z 1/2, kadar je x celo število. Enačba zahteva, da sta za c>0 in x>0 realni, drugače pa poljubna. Enačba velja za \Re(s)>\sigma_a - c

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Preprost očrt dokaza izhaja iz enačbe za Abelovo vsoto:

 g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} x A(x)x^{-(s+1) } \!\, .

To je Laplaceova transformacija pri spremembi spremenljivke x=e^{t}. Inverz da Perronovo enačbo.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Ker je enačba v splošnem povezana z Dirichletovimi vrstami, se običano uporablja pri mnogih vsotah iz teorije števil. Riemannova funkcija zeta je enaka integralu:

\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\, \mathrm{d} x \!\, .

Podobna je enačba za Dirichletove L-funkcije:

L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\, \mathrm{d} x \!\, ,

kjer je:

A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)

in \chi(n) Dirichletov karakter. Perronova enačba se pojavlja tudi pri Mertensovi funkciji ali von Mangoldtovi funkciji.

Posplošitev na več spremenljivk[uredi | uredi kodo]

Posplošitev enačbe na več spremenljivk je leta 2007 najavil angleški matematik sir Peter Swinnerton-Dyer.

Viri[uredi | uredi kodo]