Funkcija beta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Konturni graf funkcije beta
Graf funkcije beta za pozitivne x in y

Funkcija beta, imenovana tudi Eulerjev integral prve vrste, je v matematiki specialna funkcija dveh argumentov, definirana kot:

 \operatorname{\Beta} (x,y) =\int_{0}^{1}t^{x-1}\left( 1-t\right) ^{y-1} \, \mathrm{d} t, \qquad \Re (x) > 0,\ \Re (y) > 0 \!\, .

Funkcijo beta sta raziskovala Euler in Legendre, ime pa ji je dal Binet.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija beta je simetrična, kar pomeni da argumenta lahko zamenjata mesti, in velja:

 \operatorname{\Beta} (x,y) = \operatorname{\Beta} (y,x) \!\, .

Funkcijo beta se lahko zapiše v različnih oblikah.

Dokazati je mogoče, da se da funkcijo beta izraziti s funkcijo gama:

 \operatorname{\Beta} (x,y) = \frac{\operatorname{\Gamma} (x)\,\operatorname{\Gamma} (y)}{\operatorname{\Gamma} (x+y)} \,\! .
 \operatorname{\Beta} (x,y) = 2\int_{0}^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\, \mathrm{d}\theta, \qquad \Re (x) > 0,\ \Re (y) > 0 \!\, ,
 \operatorname{\Beta} (x,y) = \int_{0}^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\, \mathrm{d} t, \qquad \Re (x) > 0,\ \Re (y) > 0 \!\, ,
 \operatorname{\Beta} (x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{{n-y \choose n}} {x+n} \!\, ,
 \operatorname{\Beta} (x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \frac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1} \!\, ,
 \operatorname{\Beta} (x,y) \, \operatorname{\Beta} (x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)} \!\, ,
 \operatorname{\Beta} (x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)} \!\, .

Druga enakost kaže da je \operatorname{\Gamma} (1/2) = \sqrt \pi.

Podobno kot funkcija gama za cela števila opisuje fakultete, lahko funkcija beta določa binomski koeficient s primernimi indeksi:

 {n \choose k} = \frac1{(n+1) \operatorname{\Beta} (n-k+1, k+1)} \!\, .

Funkcija beta je bila prva znana raztrosna amplituda v teoriji strun, kar je prvi domneval Veneziano. Pojavlja se tudi v teoriji procesa prednostne povezanosti, vrste stohastičnega procesa žare.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]