Porazdelitev beta

Beta porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev za različne α in β
Zbirna funkcija verjetnosti beta porazdelitve za različne α in β
oznaka	$Beta(\alpha, \beta) \!$
parametri	$\alpha > 0$ oblika (realno število) $\beta > 0$ oblika (realno število)
interval	$x \in (0; 1)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_x(\alpha,\beta)\!$
pričakovana vrednost	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
mediana	$I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)$ nezaprta oblika
modus	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ za $\alpha>1, \beta>1$
varianca	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
simetrija	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
karakteristična funkcija	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Porazdelitev beta je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je definirana na intervalu (0,1). Porazdelitev ima dva parametra, ki določata njeno obliko (parameter oblike). Parametra označujemo z $\alpha \!$ in $\beta \!$.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev je

$f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \!$

$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

$= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

kjer je

• $B(x,y) \!$ funkcija beta
• $\Gamma(x) \!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$

kjer je

• $I_x(\alpha,\beta)\!$ regulirana nepopolna funkcija beta
• $B_x(\alpha,\beta) \!$ nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$.

Oblika funkcije gostote verjetnosti

• Kadar je $\alpha = 1,\ \beta = 1$, dobimo zvezno enakomerno porazdelitev
• Za $\alpha < 1,\ \beta < 1$ ima funkcija gostote verjetnosti obliko črke U (rdeča krivulja)
• Za $\alpha < 1,\ \beta \geq 1$ or $\alpha = 1,\ \beta > 1$ je padajoča (modra krivulja, glej desno)
  • Za $\alpha = 1,\ \beta > 2$ je funkcija konveksna
  • Za $\alpha = 1,\ \beta = 2$ ima obliko premice
  • $\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ je funkcija konkavna
• Za $\alpha = 1,\ \beta < 1$ ali $\alpha > 1,\ \beta \leq 1$ je funkcija naraščajoča (zelena krivulja)
  • $\alpha > 2,\ \beta = 1$ jefunkcija konveksna
  • $\alpha = 2,\ \beta = 1$ je premica
  • $1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ je fumkcija konkavna
• Za $\alpha > 1,\ \beta > 1$ je unimodalna (vijolična in črna krivulja).

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če se slučajna spremenljivka X podreja beta porazdelitvi, potem je spremenljivka T = X/(1 – X) porazdeljena po posebni porazdelitvi, ki jo imenujemo beta porazdelitev druge vrste (včasih jo imenujemo tudi beta prime porazdelitev).
• Porazdelitev $Beta (1, 1) \!$ je enaka enakomerni zvezni porazdelitvi.
• Če ima slučajna spremenljivka X porazdelitev $Beta (3/2, 3/2) \!$ in je parameter R realno število, ki je R > 0, potem je slučajna spremenljivka Y = 2RX – R porazdeljena po Wignerjevi polkrožni porazdelitvi.
• Kadar imata dve slučajni spremenljivki X in Y porazdelitev gama $\Gamma(\alpha,\theta) \!$ in $\Gamma (\beta,\theta) \!$, potem ima X/(X + Y) porazdelitev $Beta (\alpha,\beta) \!$
• Če sta X in Y dve neodvisni slučajni spremenljivki in je prva porazdeljena s porazdelitvijo $Beta (\alpha,\beta) \!$ in druga z F porazdelitvijo (Snedekorjeva F porazdelitev) z $F (2\beta ,2\alpha) \!$, potem za verjetnost $P\!$ velja $P(X \le \alpha / (\alpha+ x/beta)) = P(Y > x)\!$ za vse $x > 0 \!$.
• Beta porazdelitev je posebni primer Dirichletove porazdelitve za samo dva parametra
• Kumaraswamyjeva porazdelitev spominja na beta porazdelitev.
• Kadar ima slučajna spremenljivka X zvezno enakomerno porazdelitev z $X \sim {\rm U}(0, 1]\,$ potem za kvadrat slučajne spremenljivke velja $X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \$

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev