Porazdelitev beta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Beta porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev za različne α in β
Zbirna funkcija verjetnosti beta porazdelitve za različne α in β
oznaka  Beta(\alpha, \beta) \!
parametri \alpha > 0 oblika (realno število)
\beta > 0 oblika (realno število)
interval x \in (0; 1)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
I_x(\alpha,\beta)\!
pričakovana vrednost \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
mediana I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta) nezaprta oblika
modus \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!
za \alpha>1, \beta>1
varianca \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
simetrija \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
karakteristična funkcija {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Porazdelitev beta je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je definirana na intervalu (0,1). Porazdelitev ima dva parametra, ki določata njeno obliko (parameter oblike). Parametra označujemo z  \alpha \! in  \beta \!.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev je

 f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \!
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x
^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!

kjer je

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!.

Oblika funkcije gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

  • Kadar je \alpha = 1,\ \beta = 1, dobimo zvezno enakomerno porazdelitev
  • Za \alpha < 1,\ \beta < 1 ima funkcija gostote verjetnosti obliko črke U (rdeča krivulja)
  • Za \alpha < 1,\ \beta \geq 1 or \alpha = 1,\ \beta > 1 je padajoča (modra krivulja, glej desno)
  • Za \alpha = 1,\ \beta < 1 ali \alpha > 1,\ \beta \leq 1 je funkcija naraščajoča (zelena krivulja)
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 jefunkcija konveksna
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 je premica
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 je fumkcija konkavna
  • Za \alpha > 1,\ \beta > 1 je unimodalna (vijolična in črna krivulja).

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Če se slučajna spremenljivka X podreja beta porazdelitvi, potem je spremenljivka T = X/(1 – X) porazdeljena po posebni porazdelitvi, ki jo imenujemo beta porazdelitev druge vrste (včasih jo imenujemo tudi beta prime porazdelitev).
  • Porazdelitev  Beta (1, 1) \! je enaka enakomerni zvezni porazdelitvi.
  • Če ima slučajna spremenljivka X porazdelitev  Beta (3/2, 3/2) \! in je parameter R realno število, ki je R > 0, potem je slučajna spremenljivka Y = 2RX – R porazdeljena po Wignerjevi polkrožni porazdelitvi.
  • Kadar imata dve slučajni spremenljivki X in Y porazdelitev gama  \Gamma(\alpha,\theta) \! in  \Gamma (\beta,\theta) \!, potem ima X/(X + Y) porazdelitev  Beta (\alpha,\beta) \!
  • Če sta X in Y dve neodvisni slučajni spremenljivki in je prva porazdeljena s porazdelitvijo  Beta (\alpha,\beta) \! in druga z F porazdelitvijo (Snedekorjeva F porazdelitev) z  F (2\beta ,2\alpha) \!, potem za verjetnost  P\! velja  P(X \le \alpha / (\alpha+ x/beta)) = P(Y > x)\! za vse  x > 0 \!.
  • Beta porazdelitev je posebni primer Dirichletove porazdelitve za samo dva parametra
  • Kumaraswamyjeva porazdelitev spominja na beta porazdelitev.
  • Kadar ima slučajna spremenljivka X zvezno enakomerno porazdelitev z X \sim {\rm U}(0, 1]\, potem za kvadrat slučajne spremenljivke velja X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \

Glej tudi[uredi | uredi kodo]