Enotska sfera

Nekaj enotskih sfer v $\R^2$ . Oznaka $||x|| \,$ pomeni normo.

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

Vsebina

1 Definicija
2 Evklidski prostor
3 Površina in prostornina
- 3.1 Rekurzija
4 Enotska krogla v normiranih vektorskih prostorih
5 Glej tudi
6 Zunanje povezave

Definicija[uredi]

Naj bo $(X, || . ||) \,$ normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v $X \,$ , kar lahko zapišemo kot

$B_X:=\{x\in X : \|x\|<1\} \,$ .

Pri tem pa lahko označimo z

$\overline{B_X}:=\{x\in X : \|x\|\leq1\}$

zaprto enotsko sfero v $X \,$ in

$\partial B_X:=\{x\in X : \|x\|=1\}$ je enotska sfera v $X \,$ .

Evklidski prostor[uredi]

V Evklidskem prostoru, ki ima $n \,$ razsežnosti, je enotska sfera množica točk $(x_1, \dots, x_n) \,$ , ki zadoščajo enačbi

$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1$ ,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1,$

pa je enotska krogla.

Površina in prostornina[uredi]

Označimo z $V_n \,$ prostornino enotske sfere v $n \,$ razsežnem prostoru. S $P_n \,$ pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

$V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases} {\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{kadar \quad je \quad} n \ge 0\mathrm \quad { in \quad paren,} \\ ~\\ {\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{kadar \quad je} \quad n \ge 0\mathrm \quad{in\quad neparen,} \end{cases}$

kjer je

$\Gamma (z) \,$ funkcija gama
$n!! \,$ dvojna fakulteta

Hipervolumen $n-1 \,$ razsežne enotske sfere, to je površina $n \,$ razsežne enotske krogle, ki ga označimo z $P_n \,$ lahko zapišemo kot

$A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,$

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti $n \,$ so

$n$	$P_n$ (površina)		$V_n$ (prostornina)
0	$0(1/0!)\pi^0$	0,000	$(1/0!)\pi^0$	1,000
1	$1(2^1/1!!)\pi^0$	2,000	$(2^1/1!!)\pi^0$	2,000
2	$2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi$	6,283	$(1/1!)\pi^1 = \pi$	3,142
3	$3(2^2/3!!)\pi^1 = 4 \pi$	12,57	$(2^2/3!!)\pi^1 = (4/3)\pi$	4,189
4	$4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2$	19,74	$(1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2$	4,935
5	$5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2$	26,32	$(2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2$	5,264
6	$6(1/3!)\pi^3 = \pi^3$	31,01	$(1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3$	5,168
7	$7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3$	33,07	$(2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3$	4,725
8	$8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4$	32,47	$(1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4$	4,059
9	$9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4$	29,69	$(2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4$	3,299
10	$10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5$	25,50	$(1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5$	2,550

Rekurzija[uredi]

Vrednosti $P_n \,$ za površino zadoščajo rekurziji

$P_0 = 0$

$P_1 = 2$

$P_2 = 2\pi$

$P_n = \frac{2 \pi}{n-2} P_{n-2}$ za $n > 2$ .

Vrednosti za prostornino $V_n \,$ pa zadoščajo rekurziji

$V_0 = 1$

$V_1 = 2$

$V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}$ za $n > 1$ .

Površina $n-1 \,$ razsežne sfere s polmerom $r \,$ je enaka $A_n r^{n-1} \,$ ( $A_n \,$ je površina). Prostornina $n \,$ razsežne krogle s polmerom $r \,$ pa je $V_n r^n \,$ . Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom $r \,$ je $A = 4 \pi r^2 \,$ . Prostornina pa je $V = 4 \pi r^3/ 3 \,$ .