Enotska sfera

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nekaj enotskih sfer v \R^2. Oznaka  ||x|| \, pomeni normo.

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo  (X, || . ||) \, normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v  X \,, kar lahko zapišemo kot

B_X:=\{x\in X : \|x\|<1\} \,.

Pri tem pa lahko označimo z

\overline{B_X}:=\{x\in X : \|x\|\leq1\}

zaprto enotsko sfero v  X \, in

\partial B_X:=\{x\in X : \|x\|=1\} je enotska sfera v  X \,.

Evklidski prostor[uredi | uredi kodo]

V Evklidskem prostoru, ki ima  n \, razsežnosti, je enotska sfera množica točk  (x_1, \dots, x_n) \,, ki zadoščajo enačbi

 x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

 x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1,

pa je enotska krogla.

Površina in prostornina[uredi | uredi kodo]

Označimo z  V_n \, prostornino enotske sfere v  n \, razsežnem prostoru. S  P_n \, pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{kadar \quad je \quad} n \ge 0\mathrm \quad { in \quad paren,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{kadar \quad je} \quad n \ge 0\mathrm \quad{in\quad neparen,}
\end{cases}

kjer je

Hipervolumen  n-1 \, razsežne enotske sfere, to je površina  n \, razsežne enotske krogle, ki ga označimo z  P_n \, lahko zapišemo kot

A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti  n \, so

n P_n (površina) V_n (prostornina)
0 0(1/0!)\pi^0 0,000 (1/0!)\pi^0 1,000
1 1(2^1/1!!)\pi^0 2,000 (2^1/1!!)\pi^0 2,000
2 2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi 6,283 (1/1!)\pi^1 = \pi 3,142
3 3(2^2/3!!)\pi^1  = 4 \pi 12,57 (2^2/3!!)\pi^1  = (4/3)\pi 4,189
4 4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 19,74 (1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 4,935
5 5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 26,32 (2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 5,264
6 6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 31,01 (1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 5,168
7 7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 33,07 (2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 4,725
8 8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 32,47 (1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 4,059
9 9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 29,69 (2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 3,299
10 10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 25,50 (1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 2,550

Rekurzija[uredi | uredi kodo]

Vrednosti  P_n \, za površino zadoščajo rekurziji

P_0 = 0
P_1 = 2
P_2 = 2\pi
P_n = \frac{2 \pi}{n-2} P_{n-2} za n > 2.

Vrednosti za prostornino  V_n \, pa zadoščajo rekurziji

V_0 = 1
V_1 = 2
V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2} za n > 1.

Površina  n-1 \, razsežne sfere s polmerom  r \, je enaka  A_n r^{n-1} \, ( A_n \, je površina). Prostornina  n \, razsežne krogle s polmerom  r \, pa je  V_n r^n \,. Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom  r \, je  A = 4 \pi r^2 \,. Prostornina pa je  V = 4 \pi r^3/ 3 \,.

Enotska krogla v normiranih vektorskih prostorih[uredi | uredi kodo]

Odprta enotska krogla v normiranem vektorskem prostoru  V \, z normo  || . || \, se opiše z

 \{ x\in V: \|x\|<1 \} \,.

Pomeni pa notranjost zaprte enotske krogle, ki pripada (V, ||·||)

 \{ x\in V: \|x\|\le 1\}.

To pa sta disjunktni množici te krogle in njene skupne razmejitve z enotsko sfero (V,||·||)

 \{ x\in V: \|x\| = 1 \}.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]