Elementarna matrika

Elementarna matrika je matrika, ki se od enotske matrike razlikuje samo v eni elementarni vrstični operaciji. Elementarne matrike tvorijo splošno linearno grupo obrnljivih matrik. Znani so trije tipi elementarnih matrik z razsežnostjo $n \times n \,$:

• permutacijske matrike
• diagonalne matrike
• unipotentne matrike

Elementarna vrstična oparacija

Elementarne vrstične oparacije ne spremenijo rešitve sistema linearnih enačb, ki ga opisuje matrika.

Znane so tri vrste elementarnih matrik, ki odgovarjajo trem tipom vrstičnih operacij (enako velja tudi za stolpce))

• sprememba vrstic pomeni, da dano vrstico zamenjamo z drugo vrstico

$R_i \leftrightarrow R_j$

• množenje vrstice pomeni, da lahko vsak element v vrstici pomnožimo z neničelno konstanto

$kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{kjer je}\quad k \neq 0 \,$

• dodajanje vrstice pomeni, da vrstico nadomestimo z vsoto te vrstice in mnogokratnikom neke druge vrstice

$R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{kjer je } i \neq j \,$

Elementarna matrika se dobi tako, da izvedemo eno izmed zgornjih operacij na enotski matriki.

Množenje vrstice pomeni, da množimo vse elemente v vrstici enotske matrike s konstanto, ki ni enaka 0.
Primer:

$T_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad$

Dodajanje vrstice pomeni, da dodamo neki vrstici s konstanto pomnoženo drugo vrstico.
Primer:

$T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}$

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Elementarne operacije nad matrikami (v angleščini)
• Elementarna matrika (v angleščini)
• Lastnosti elementarnih matrik (v angleščini)