Diofantska enačba

Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami, z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

• $ax + by = 1 \,$: linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
• $x^{n} + y^{n} = z^{n}\,$: Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
• $x^{2} - n y^{2} = 1\,$: Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
• $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \,$: kvadratna enačba Markova
• $x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2} \!\,$: pitagorejske četvorke.
• $\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c$, kjer je $n \geq 3$ in $c \neq 0$: to so Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
• $x^{a} - y^{b} = 1 \!\,$: diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve.
• $x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} = (x + y + z + t)^{4} \!\,$: Eulerjeva enačba četrte stopnje.
• $\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \!\,$, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz). Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.