Število Markova

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Števílo Markova [~ márkova] je v teoriji števil pozitivno celo število x, y ali z, ki je ena od rešitev kvadratne diofantske enačbe Markova:

 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \!\, .

Prva števila Markova so (OEIS A002559):

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...
Števila Markova, razporejena v dvojiškem drevesu.

in predstavljajo koordinate markovskih trojic:

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), itd.

Števila se imenujejo po Andreju Andrejeviču Markovu starejšem. V tujih virih včasih zaradi nepravilnega prečrkovanja števila imenujejo Markoffova števila.

Števil Markova in markovskih trojic je neskončno mnogo. Zaradi simetrije enačbe Markova lahko koordinate prerazporedimo. Markovsko trojico (a,b,c) lahko uredimo kakor zgoraj, kjer upoštevamo a\le b\le c. Razen prvih dveh najmanjših trojic, vsebuje vsaka markovska trojica (a,b,c) tri različna cela števila. Po domnevi enomestnosti za vsako število Markova c obstaja natanko ena normalizirana rešitev z največjim elementom c. (Zaporedje A030452 vsebuje števila Markova, ki se pojavljajo v rešitvah, in je eden od drugih dveh členov enak 5).

Števila Markova lahko razporedimo tudi v dvojiška drevesa. Najvišje število na poljubnem nivoju je vedno približno na tretjini od spodaj. Vsa števila Markova, ki ležijo na isti strani kot 2, so Pellova števila s sodimi indeksi, oziroma so oblike, da je 2n^2 - 1 kvadratno število, A001653. Vsa števila Markova na isti strani kot 1 so Fibonaccijeva števila s sodimi indeksi (A001519). Tako obstaja neskončno mnogo markovskih trojic oblike:

(1, F_{2n - 1}, F_{2n + 1}) \!\, ,

kjer je Fx x-to Fibonaccijevo število. Podobno obstaja neskončno mnogo markovskih trojic oblike:

(2, P_{2n - 1}, P_{2n + 1}) \!\, ,

kjer je Px x-to Pellovo število. Ni znano ali se lahko na obeh straneh pojavi isto število.

Če poznamo eno markovsko trojico (x, y, z), lahko najdemo drugo markovsko trojico oblike (x, y, 3xy - z). Števila Markova niso vedno praštevila. Števila v markovski trojici pa so vedno tuja. Ni nujno, da velja x < y < z, in da iz (x, y, 3xy - z) sledi druga trojica. Če ne spremenimo vrstnega reda elementov pri ponovni transformaciji, dobimo isto trojico s katero smo začeli. Če začnemo z (1, 1, 2) in pred vsako iteracijo transformacije zamenjamo y ter z, dobimo markovske trojice s Fibonaccijevimi števili. Če začnemo z enako trojico in pred vsako iteracijo zamenjamo x ter z, dobimo trojice s Pellovimi števili.

Leta 1979 je Don Bernard Zaiger dokazal da je n-to število Markova asimptotsko dano z:

 m_{n} = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)}, \quad\text{kjer je } C = 2,3523418721 \ldots \!\, .

Pokazal je še naprej, da je x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz + 4/9, zelo dober približek izvirne diofantske enačbe, enakovreden f(x)+f(y)=f(z), kjer je f(t) = arcosh(3t/2).[1]

n-to Lagrangeevo število je povezano z n-tim številom Markova m_{n} z enačbo:

 L_{n} = \sqrt{9 - {4 \over {m_{n}}^{2}}} \!\, .

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]