Redhefferjeva matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Redhefferjeva matrika je kvadratna nesimetrična binarna matrika, ki ima za elemente  a_{ij} = 1 \,, če  i \, deli  j \, ali, če je  j = 1 \,, v ostalih primerih pa je  a_{ij} = 0 \,.

Imenuje se po ameriškem matematiku Raymondu Moosu Redhefferju (1921––2005).

Determinanta[uredi | uredi kodo]

Determinanta Redhefferjeve matrike R_{n} \, reda  n \, je enaka Mertensovi funkciji  M(n) \,.

Zgled[uredi | uredi kodo]

 R_{12} = \left[\begin{smallmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{smallmatrix}\right]

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Redheffer je dokazal, da je število lastnih vrednosti Redhefferjeve matrike reda n enakih 1 za n > 1 enako:

 a(n) = n - \lfloor \operatorname{lb} n \rfloor - 1 \!\, ,

kjer je \lfloor \circ \rfloor funkcija (spodnji) celi del, \operatorname{lb} \circ \, (označen tudi \operatorname{ld} \, ali \lg \,) pa dvojiški logaritem. Prve vrednosti enotskih lastnih vrednosti so (OEIS A083058):

1, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...

Za enotske lastne vrednosti velja:

 a(n)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1+(-1)^{C_{k}}}{2}, \quad (n>1) \!\, ,

kjer je C_{k} \, k-to Catalanovo število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]