Projektivna ravnina
Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera [1]. Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.
Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako (tudi ) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s .
Naj bo kolobar z deljenjem in naj označuje množico vseh mogočih trojk elementov iz . Za vsak neničelen v in premico v skozi izhodišče in podmnožica
spada v .
Projektivno ravnino nad označujemo s . To je množica vseh premic v skozi izhodišče. Podmnožica , ki pripada , je premica v , če obstoja ravnina v , v kateri je množica premic natančno .
Zgledi
[uredi | uredi kodo]- Realno projektivno ravnino dobimo, če zavzame samo realne vrednosti. Kot zaprta neorientabilna realna 2-razsežna mnogoterost služi kot osnovni primer v topologiji.
- Kompleksno projektivno ravnino dobimo, če zavzame kompleksne vrednosti. To je zaprta kompleksna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost in torej tudi zaprta orientabilna realna štiri razsežna mnogoterost.
- Kvaternionska projektivna ravnina z oznako je razširitev realnega projektivnega prostora in kompleksnega projektivnega prostora na področje kjer koordinate ležijo v kolobarju kvaternionov.
- Oktonioni ne tvorijo kolobarja z deljenjem zato zgornja definicija ni primerna. Običajno velja Cayleyjeva ravnina za projektivno ravnino nad oktonioni.
Opombe in sklici
[uredi | uredi kodo]Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- Projektivna ravnina (angleško)
- Opis in lasnosti projektivne ravnine[mrtva povezava] (angleško)
- Projektivni prostor Arhivirano 2011-08-05 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)