Premaknjena matrika

Premaknjena matrika je binarna matrika, ki ima enice na naddiagonali (leži tik nad glavno diagonalo) ali na poddiagonali (leži tik pod glavno diagonalo), povsod drugod pa ničle. Če ima enice na naddiagonali, je to zgornja premaknjena matrika. Zanjo velja

$U_{ij}=\delta _{i+1,j}\,$$U_{ij}=\delta _{i+1,j}\,$

kjer je

• $\delta _{ij}\,$$\delta _{ij}\,$ Kroneckerjev delta

Kadar pa so enice na poddiagonali

$L_{ij}=\delta _{i,j+1}\,$$L_{ij}=\delta _{i,j+1}\,$

imamo spodnjo premaknjeno matriko.

Če transponiramo spodnjo premaknjeno matriko, dobimo zgornjo premaknjeno matriko in obratno.

Množenje matrike $A\,$$A\,$ na levi strani s spodnjo premaknjeno matriko nam da matriko, v kateri se premaknejo elementi navzdol za eno mesto, na vrhu pa se pojavijo ničle. Množenje z desne strani s spodnjo premaknjeno matriko nam da matriko, ki ima elemente premaknjene v levo. Podobni so rezultati pri množenju z zgornjo premaknjeno matriko.

Vse premaknjene matrike so nilpotentne. Kadar potenciramo matriko $n\times n\,$$n\times n\,$ s potenco $n\,$$n\,$, dobimo ničelno matriko.

Primer

$U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$$U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Lastnosti

Če je $L\,$$L\,$ spodnja premaknjena matrika in $U\,$$U\,$ zgornja premaknjena matrika z razsežnostjo $n\times n\,$$n\times n\,$, potem za obe vrsti matrik velja:

• $\det(U)=0\,$$\det(U)=0\,$
• $sl(U)=0\,$$sl(U)=0\,$
• rang matrike je enak $rank(U)=n-1\,$$rank(U)=n-1\,$
• karakteristični polinom (oznaka pU(λ)) matrike je $(-1)^{n}\lambda ^{n}\,$$(-1)^{n}\lambda ^{n}\,$
• iz Cayley-Hamiltonovega izreka sledi tudi $U^{n}=0\,$$U^{n}=0\,$
• permanent matrike $U\,$$U\,$ je enak 0.

Primeri

$S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}},\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}$$S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}},\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}$.

Iz tega dobimo $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}},\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}$$SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}},\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}$.

Lahko bi uporabili še drugačne zmnožke. Takšen primer je premik navzgor in nato proti levi vzdolž glavne diagonale, ki ga dobimo s pomočjo množenja $S^{T}AS\,$$S^{T}AS\,$

$S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$$S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$.

Zunanje povezave

• Premaknjena matrika v Priročniku za matrike (v angleščini)