Möbiusov trak

Möbiusov trak

Möbiusov trák [mébijusov] (oz. Möbiusova ploskev) je v topologiji (prva odkrita) enostranska in neusmerjena ploskev z robom. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu, ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing.

Značilnosti

Möbiusov trak je zgled za neorientabilno ploskev. V vsaki točki lahko postavimo dve normali, ne moremo pa na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če stopimo nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravnamo po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napotimo po njegovem ravniku, se bomo vrnili v začetno točko, toda obrnjeni navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž poti in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku dobimo, če ga rišemo v parametričnih koordinatah:

$x(u,v)=1+{v \over 2}\cos \left({u \over 2}\right)\cos u$

$y(u,v)=1+{v \over 2}\cos \left({u \over 2}\right)\sin u\qquad 0<u<2\pi$

$z(u,v)={v \over 2}\sin \left({u \over 2}\right)\qquad -1<v<1\;.$

S tem dobimo Möbiusov trak širine 1, katerega središčni krog ima polmer 1, leži na ravnini x-y in ima središče v (0,0,0). Parameter u teče okoli traku, v pa od enega robu do drugega.

V cilindričnih polarnih koordinatah (r, θ, z) lahko Möbiusov trak zapišemo z enačbo:

$\log r\sin \left({\theta \over 2}\right)=z\cos \left({\theta \over 2}\right)\;.$

Glej tudi

• Kleinova steklenica

Zunanje povezave

• Visual Math Animacija
• MathWorld site