Algebrska struktura: Razlika med redakcijama
m robot Dodajanje: pl:Algebra ogólna |
m DP |
||
Vrstica 3: | Vrstica 3: | ||
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo. |
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo. |
||
==Najpomembnejše algebrske strukture== |
== Najpomembnejše algebrske strukture == |
||
===Grupa=== |
=== Grupa === |
||
{{glavni|Grupa (matematika)}} |
{{glavni|Grupa (matematika)}} |
||
Najosnovnejša algebrska struktura je [[grupa (matematika)|grupa]]. To je množica ''M'', v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz ''M'' je tudi rezultat operacije vedno element množice ''M''). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak ''a'', ''b'', ''c'' iz ''M''): |
Najosnovnejša algebrska struktura je [[grupa (matematika)|grupa]]. To je množica ''M'', v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz ''M'' je tudi rezultat operacije vedno element množice ''M''). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak ''a'', ''b'', ''c'' iz ''M''): |
||
*operacija je [[asociativnost|asociativna]]: ''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c'' |
*operacija je [[asociativnost|asociativna]]: ''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c'' |
||
Vrstica 11: | Vrstica 12: | ||
*vsak element ''a'' ima svoj [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e'' |
*vsak element ''a'' ima svoj [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e'' |
||
Posebej zanimiv primer grupe je [[Abelova grupa]]. To je grupa v kateri poleg naštetih treh |
Posebej zanimiv primer grupe je [[Abelova grupa]]. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom: |
||
*operacija je [[komutativnost|komutativna]]: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' |
* operacija je [[komutativnost|komutativna]]: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' |
||
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe: |
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe: |
||
*Množica vseh [[celo število|celih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
* Množica vseh [[celo število|celih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
||
*Množica vseh [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
* Množica vseh [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
||
*Množica vseh od 0 različnih [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[množenje]] je Abelova grupa |
* Množica vseh od 0 različnih [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[množenje]] je Abelova grupa |
||
*Množica vseh [[funkcija|funkcij]] z operacijo [[kompozitum]] je grupa, ni pa Abelova grupa. |
* Množica vseh [[funkcija|funkcij]] z operacijo [[kompozitum]] je grupa, ni pa Abelova grupa. |
||
===Kolobar in obseg=== |
=== Kolobar in obseg === |
||
{{glavni|Kolobar (algebra)|Obseg (algebra)}} |
{{glavni|Kolobar (algebra)|Obseg (algebra)}} |
||
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom '''·''' (ali zaradi splošnosti tudi *). |
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom '''·''' (ali zaradi splošnosti tudi *). |
||
Vrstica 30: | Vrstica 31: | ||
Znani komutativni obsegi so: |
Znani komutativni obsegi so: |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{glavni|Vektorski prostor}} |
{{glavni|Vektorski prostor}} |
||
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je [[vektorski prostor]]. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih [[vektor (matematika)|vektorjev)]]. |
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je [[vektorski prostor]]. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih [[vektor (matematika)|vektorjev)]]. |
||
Vrstica 46: | Vrstica 49: | ||
* {{navedi knjigo |author={{aut|Prijatelj, Niko}} |authorlink=Niko Prijatelj |year=1967 |title=Matematične strukture 2 |edition=Knjižnica Sigma (št. 15) |publisher=Mladinska knjiga |location=Ljubljana |cobiss=17534209}} |
* {{navedi knjigo |author={{aut|Prijatelj, Niko}} |authorlink=Niko Prijatelj |year=1967 |title=Matematične strukture 2 |edition=Knjižnica Sigma (št. 15) |publisher=Mladinska knjiga |location=Ljubljana |cobiss=17534209}} |
||
==Glej tudi== |
== Glej tudi == |
||
* [[matematična struktura]] |
* [[matematična struktura]] |
||
[[Kategorija:Algebrske strukture| |
[[Kategorija:Algebrske strukture| ]] |
||
[[ar:بنية جبرية]] |
[[ar:بنية جبرية]] |
Redakcija: 11:52, 21. oktober 2009
Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.
Najpomembnejše algebrske strukture
Grupa
Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):
- operacija je asociativna: a * (b * c) = (a * b) * c
- v množici obstaja nevtralni element e, tako da velja: a * e = e * a = a
- vsak element a ima svoj inverzni element a−1, tako da velja: a * a−1 = a−1 * a = e
Posebej zanimiv primer grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:
- operacija je komutativna: a * b = b * a
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:
- Množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- Množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- Množica vseh od 0 različnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa
- Množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa, ni pa Abelova grupa.
Kolobar in obseg
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).
Táko množico K imenujemo kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.
Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, imenujemo kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, pravimo taki množici obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, imenujemo komutativni obseg ali polje.
Znani komutativni obsegi so:
- obseg racionalnih števil
- obseg realnih števil
- obseg kompleksnih števil
Vektorski prostor
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev).
Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. To operacijo imenujemo množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne lastnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.
Zanimive primere vektirskih prostorov najdemo v množici funkcij.
Viri
- Prijatelj, Niko (1967). Matematične strukture 2 (Knjižnica Sigma (št. 15) izd.). Ljubljana: Mladinska knjiga. COBISS 17534209.
{{navedi knjigo}}
: templatestyles stripmarker v|author=
na mestu 1 (pomoč)