Algebrska struktura: Razlika med redakcijama

Jump to navigation Jump to search
m
DP
m (robot Dodajanje: pl:Algebra ogólna)
m (DP)
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.
 
== Najpomembnejše algebrske strukture ==
=== Grupa ===
{{glavni|Grupa (matematika)}}
 
Najosnovnejša algebrska struktura je [[grupa (matematika)|grupa]]. To je množica ''M'', v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz ''M'' je tudi rezultat operacije vedno element množice ''M''). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak ''a'', ''b'', ''c'' iz ''M''):
*operacija je [[asociativnost|asociativna]]: ''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c''
*vsak element ''a'' ima svoj [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e''
 
Posebej zanimiv primer grupe je [[Abelova grupa]]. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:
* operacija je [[komutativnost|komutativna]]: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''
 
 
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:
* Množica vseh [[celo število|celih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa
* Množica vseh [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa
* Množica vseh od 0 različnih [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[množenje]] je Abelova grupa
* Množica vseh [[funkcija|funkcij]] z operacijo [[kompozitum]] je grupa, ni pa Abelova grupa.
 
=== Kolobar in obseg ===
{{glavni|Kolobar (algebra)|Obseg (algebra)}}
 
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom '''·''' (ali zaradi splošnosti tudi *).
 
 
Znani komutativni obsegi so:
*obseg [[racionalno število|racionalnih števil]]
*obseg [[realno število|realnih števil]]
*obseg [[kompleksno število|kompleksnih števil]]
 
* obseg [[racionalno število|racionalnih števil]]
===Vektorski prostor===
* obseg [[realno število|realnih števil]]
* obseg [[kompleksno število|kompleksnih števil]]
 
=== Vektorski prostor ===
{{glavni|Vektorski prostor}}
 
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je [[vektorski prostor]]. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih [[vektor (matematika)|vektorjev)]].
 
* {{navedi knjigo |author={{aut|Prijatelj, Niko}} |authorlink=Niko Prijatelj |year=1967 |title=Matematične strukture 2 |edition=Knjižnica Sigma (št. 15) |publisher=Mladinska knjiga |location=Ljubljana |cobiss=17534209}}
 
== Glej tudi ==
 
* [[matematična struktura]]
 
[[Kategorija:Algebrske strukture|* ]]
 
 
[[ar:بنية جبرية]]

Navigacijski meni