Laplaceov operator: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m Tn |
m Krogelne koordinate |
||
Vrstica 2: | Vrstica 2: | ||
[[sv:Laplaceoperatorn]] |
[[sv:Laplaceoperatorn]] |
||
'''Laplaceov operator''' je v [[vektorski račun|vektorskem računu]] [[skalar]]ni [[diferencialni operator]]. Je enak vsoti vseh drugih [[parcialni odvod|parcialnih odvodov]] odvisne spremenljivke. |
'''Laplaceov operator''' je v [[vektorski račun|vektorskem računu]] [[skalar]]ni [[diferencialni operator]] skalarne funkcije φ. Je enak vsoti vseh drugih [[parcialni odvod|parcialnih odvodov]] odvisne spremenljivke. |
||
To odgovarja [[divergenca|div]] ([[gradient|grad]] φ), zato tudi uporaba simbola [[del]] (nabla operator), ki ga predstavlja: |
To odgovarja [[divergenca|div]] ([[gradient|grad]] φ), zato tudi uporaba simbola [[del]] (nabla operator), ki ga predstavlja: |
||
Vrstica 10: | Vrstica 10: | ||
Zapišemo ga tudi z znakom Δ. |
Zapišemo ga tudi z znakom Δ. |
||
V eno in dvorazsežnih [[ |
V eno in dvorazsežnih [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] je Laplaceov operator: |
||
: <math> \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } |
: <math> \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; . </math> |
||
In v treh: |
In v treh Σ(''x'', ''y'', ''z''): |
||
: <math> \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = |
: <math> \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = |
||
{\partial^2 \over \partial x^2 } + |
{\partial^2 \over \partial x^2 } + |
||
{\partial^2 \over \partial y^2 } + |
{\partial^2 \over \partial y^2 } + |
||
{\partial^2 \over \partial z^2 } \; . |
{\partial^2 \over \partial z^2 } \; . |
||
</math> |
|||
V trorazsežnih [[krogelni koordinatni sistem|sferičnih koordinatah]] Σ(''r'', θ, φ) je: |
|||
:<math> \nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} |
|||
(r^2 {\partial t \over \partial r}) + |
|||
{1 \over r^2 sin \theta} {\partial \over \partial \theta} |
|||
(sin \theta {\partial t \over \partial \theta}) + |
|||
{1 \over r^2 sin^2 \theta} |
|||
{\partial^2 t \over \partial \phi^2} \; . |
|||
</math> |
</math> |
||
Laplaceov operator se na primer pojavlja v [[Laplaceova enačba|Laplaceovi]], [[Poissonova enačba|Poissonovi]], [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovi]], [[Helmholtzova enačba|Helmholtzovi]] ali [[valovna enačba|valovni enačbi]]. |
Laplaceov operator se na primer pojavlja v [[Laplaceova enačba|Laplaceovi]], [[Poissonova enačba|Poissonovi]], [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovi]], [[Helmholtzova enačba|Helmholtzovi]] ali [[valovna enačba|valovni enačbi]]. |
||
Laplaceov operator je [[linearnost|linearen]]: |
|||
: <math> \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \; . </math> |
|||
Velja tudi: |
|||
: <math>\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \; . </math> |
Redakcija: 16:37, 1. april 2004
Laplaceov operator je v vektorskem računu skalarni diferencialni operator skalarne funkcije φ. Je enak vsoti vseh drugih parcialnih odvodov odvisne spremenljivke.
To odgovarja div (grad φ), zato tudi uporaba simbola del (nabla operator), ki ga predstavlja:
Zapišemo ga tudi z znakom Δ.
V eno in dvorazsežnih kartezičnih koordinatah je Laplaceov operator:
In v treh Σ(x, y, z):
V trorazsežnih sferičnih koordinatah Σ(r, θ, φ) je:
Laplaceov operator se na primer pojavlja v Laplaceovi, Poissonovi, Poisson-Boltzmannovi, Helmholtzovi ali valovni enačbi.
Laplaceov operator je linearen:
Velja tudi: