Matrika s spremenljivimi predznaki

Ne zamenjajte za izmenična matrika.

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

Sedem matrik s spremenljivi predznaki velikosti 3

Matrika s spremenljivimi predznaki je v matematiki takšna kvadratna matrika, ki ima elemente z vrednostmi enakimi 0, 1 in −1, da je vsota vsake vrstive in vsakega stolpca enaka 1. Pri tem se predznaki neničelnih elementov v vsaki vrstici in stolpcu izmenično spreminjajo. Te matrike so posplošitve permutacijskih matrik.

Matrike s spremenljivimi predznaki so pričeli uporabljati z razvojem Dodgsonove kondenzacije za uporabo izračunavanja vrednosti determinant. Matrike so tudi povezana z modelom ledu – modelom šestih točk z robnimi pogoji domenske stene iz statistične mehanike. Prvi so jih opredelili William Mills, David Peter Robbins in Howard Rumsey v prejšnjem kontekstu.

Zgled

Slika uganke

Permutacijska matrika je matrika s spremenljivimi predznaki, matrika s spremenljivimi predznaki pa je permutacijska matrika, če in samo če noben vnos ni enak −1.

Zgled matrike s spremenljivimi predznaki, ki ni permutacijska matrika, je:

${\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\!\,.$

Izrek o matrikah s spremenljivimi prednaki

Izrek o matrikah s spremenljivimi predznaki pravi, da je število matrik s spremenljivimi predznaki $n\times n\!\,$ enako:

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!4!7!\cdots (3n-2)!}{n!(n+1)!\cdots (2n-1)!}}\!\,.$

Prvi členi v tem zaporedju so: (OEIS A005130)

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, ...

Izrek je prvi dokazal izraelski matematik Doron Zeilberger (rojen 1950) leta 1992. Leta 1995 je Greg Kuperberg podal kratek dokaz na podlagi Yang-Baxterjeve enačbe za model s šestimi točkami z robnimi pogoji domenske stene, ki uporablja izračun determinante Anatolija Izergina. Leta 2005 je Ilse Fischer podala tretji dokaz z uporabo operatorske metode.

Problem Razumova in Stroganova

Leta 2001 sta A. V. Razumov in Yu. G. Stroganov podala domnevo o povezavi med modelom zanke O(1), modelom polne zanke (FPL) in ASM. To domnevo sta leta 2010 dokazala Cantini in Sportiello.

Viri

• Cantini, L.; Sportiello, A. (2011), »Proof of the Razumov-Stroganov conjecture«, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (5): 1549–1574, arXiv:1003.3376, ISSN 0097-3165
• Fischer, Ilse (2005), »A new proof of the refined alternating sign matrix theorem«, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 114 (2): 253–264, arXiv:math/0507270, Bibcode:2005math......7270F, doi:10.1016/j.jcta.2006.04.004, ISSN 0097-3165
• Hone, Andrew N. W. (2006), »Dodgson condensation, alternating signs and square ice«, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 364 (1849): 3183–3198, doi:10.1098/rsta.2006.1887, MR 2317901
• Izergin, A. G.; idr. (1992), »Determinant formula for the six-vertex model«, Journal of Physics A: Math. Gen. 25 4315
• Kuperberg, Greg (1996), »Another proof of the alternating sign matrix conjecture«, International Mathematics Research Notes, 3: 139–150, arXiv:math.CO/9712207
• Razumov, A. V.; Stroganov, Yu. G. (2001), »Spin chains and combinatorics«, Journal of Physics A, 34: 3185–3190, arXiv:cond-mat/0012141
• Zeilberger, Doron (1996), »Proof of the alternating sign matrix conjecture«, Electronic Journal of Combinatorics, 3 (2): R13, doi:10.37236/1271, ISSN 1077-8926

Nadaljnje branje

• Bressoud, David Marius (1999), Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Washington, D.C.: MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, ISBN 978-0521666466
• Bressoud, David Marius; Propp, James (1999), »How the alternating sign matrix conjecture was solved« (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 46: 637–646, ISSN 0002-9920
• Mills, William H.; Robbins, David Peter; Rumsey, Howard mlajši (1982), »Proof of the Macdonald conjecture«, Inventiones Mathematicae, 66: 73–87, ISSN 0020-9910
• Mills, William H.; Robbins, David Peter; Rumsey, Howard mlajši (1983), »Alternating sign matrices and descending plane partitions«, ournal of Combinatorial Theory, Series A, 34: 340–359, ISSN 0097-3165
• Propp, James (julij 2001), »The many faces of alternating-sign matrices«, Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, Special issue on Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry, arXiv:math/0208125v1, ISSN 1462-7264
• Razumov, A. V.; Stroganov, Yu. G. (2004), »Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model«, Theoretical and Mathematical Physics, 138: 333–337, arXiv:math/0104216, ISSN 0040-5779
• Razumov, A. V.; Stroganov, Yu. G. (2005), »O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices«, Theoretical and Mathematical Physics, 142: 237–243, arXiv:cond-mat/0108103, ISSN 0040-5779
• Robbins, David Peter (1991), »The story of $1,2,7,42,429,7436,\dots \!\,$«, The Mathematical Intelligencer, 13 (2): 12–19, doi:10.1007/BF03024081, ISSN 0343-6993
• Zeilberger, Doron (1996), »Proof of the refined alternating sign matrix conjecture« (PDF), The New York Journal of Mathematics, 2: 59–68, ISSN 1076-9803

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Matrika s spremenljivimi predznaki«. MathWorld (v angleščini).
• Preizkus predpostavke Dorona Zeilbergerja (angleško)
• Zapis o matrikah s spremenljivimi predznaki v podatkovni zbirki FindStat (angleško)