Dodgsonova kondenzacija je postopek, ki nam omogoča računanje determinant kvadratnih matrik.
Postopek se imenuje po angleškem pisatelju, matematiku, logiku in anglikanskem diakonu Charlesu Lutwidgu Dodgsonu (1832 – 1898). Znan je bolj kot pisatelj, njegovo najznamenitejše delo je Aličine dogodivščine v čudežni deželi, ki ga je izdal pod psevdonimom Lewis Carroll.
Postopek je sestavljen iz zaporedja kreiranja vedno manjših matrik. Prične se z matriko
, nato se nadaljuje s kreiranjem matrike
in matrike
dokler ne pridemo do matrike z razsežnostjo
, ki vsebuje samo en element, ki je enak determinanti začetne matrike.
Način določanja vrednosti determinante lahko opišemo s štirimi koraki
1. korak Naj bo
matrika z razsežnostjo
. Najprej preuredimo matriko
tako, da ne bo imela ničel v svoji notranjosti. Notranjost predstavljajo vsi elementi matrike
za katere je
2. korak Kreiramo matriko
, ki pa ima razsežnost
, ki jo sestavljajo determinante vsake od
podmatrik matrike
. To pomeni, da je vsak
enak
3. korak Z uporabo matrike
ponovimo drugi korak in dobimo matriko
, ki naj bo matrika
. Sedaj delimo vsak člen v
z odgovarjajočim členom iz notranjosti matrike
. Torej dobimo elmente
4. korak Naj bo
in
Če je potrebno ponavljamo tretji korak tako dolgo, da dobimo matriko
. Element, ki ga vsebuje je vrednost determinante prvotne matrike.
Hočemo izračunati vrednost determinante matrike
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}-2&-1&-1&-4\\-1&-2&-1&-6\\-1&-1&2&4\\2&1&-3&-8\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89228a9922b1999aca4c05c53f17a61c632b20a1)
Najprej izdelamo matriko, ki jo sestavljajo podmatrike z razsežnostjo
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}-2&-1\\-1&-2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-1\\-2&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-4\\-1&-6\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-2&-1\\-1&2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-6\\2&4\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-1\\2&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&2\\1&-3\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&4\\-3&-8\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-1&2\\-1&-5&8\\1&1&-4\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700f53f134fccbcaa4056455777277e72232e3ce)
Iz tega dobimo naslednjo matriko determinant
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}3&-1\\-1&-5\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&2\\-5&8\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-5\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-5&8\\1&-4\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-16&2\\4&12\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456b84a56975c3245943fdb80da29fe8e3a3db73)
Temu sledi deljenje z notranjostjo začetne matrike. Notranjost začetne matrike je enaka
po deljenju pa dobimo
.
Postopek ponovimo in dobimo matriko
.
Sedaj moramo deliti z elementom, ki predstavlja notranjost matrike
, to pa je -5 (problem nastane, kadar je element v notranjosti enak 0. V tem primeru preuredimo vrstice tako, da element ni več enak nič. Pri preurejanju vrstic se vrednost determinante ne spremeni.). V našem primeru dobimo
, kar pa je tudi prava vrednost determinante začetne matrike.