Dodgsonova kondenzacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Dodgsonova kondenzacija je postopek, ki nam omogoča računanje determinant kvadratnih matrik.

Postopek se imenuje po angleškem pisatelju, matematiku, logiku in anglikanskem diakonu Charlesu Lutwidgu Dodgsonu (1832 – 1898). Znan je bolj kot pisatelj, njegovo najznamenitejše delo je Aličine dogodivščine v čudežni deželi, ki ga je izdal pod psevdonimom Lewis Carroll.

Postopek je sestavljen iz zaporedja kreiranja vedno manjših matrik. Prične se z matriko , nato se nadaljuje s kreiranjem matrike in matrike dokler ne pridemo do matrike z razsežnostjo , ki vsebuje samo en element, ki je enak determinanti začetne matrike.

Splošni postopek[uredi | uredi kodo]

Način določanja vrednosti determinante lahko opišemo s štirimi koraki

1. korak Naj bo matrika z razsežnostjo . Najprej preuredimo matriko tako, da ne bo imela ničel v svoji notranjosti. Notranjost predstavljajo vsi elementi matrike za katere je

2. korak Kreiramo matriko , ki pa ima razsežnost , ki jo sestavljajo determinante vsake od podmatrik matrike . To pomeni, da je vsak enak

3. korak Z uporabo matrike ponovimo drugi korak in dobimo matriko , ki naj bo matrika . Sedaj delimo vsak člen v z odgovarjajočim členom iz notranjosti matrike . Torej dobimo elmente

4. korak Naj bo in Če je potrebno ponavljamo tretji korak tako dolgo, da dobimo matriko . Element, ki ga vsebuje je vrednost determinante prvotne matrike.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Hočemo izračunati vrednost determinante matrike

Najprej izdelamo matriko, ki jo sestavljajo podmatrike z razsežnostjo

Iz tega dobimo naslednjo matriko determinant

Temu sledi deljenje z notranjostjo začetne matrike. Notranjost začetne matrike je enaka po deljenju pa dobimo . Postopek ponovimo in dobimo matriko . Sedaj moramo deliti z elementom, ki predstavlja notranjost matrike , to pa je -5 (problem nastane, kadar je element v notranjosti enak 0. V tem primeru preuredimo vrstice tako, da element ni več enak nič. Pri preurejanju vrstic se vrednost determinante ne spremeni.). V našem primeru dobimo , kar pa je tudi prava vrednost determinante začetne matrike.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]