Dodgsonova kondenzacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dodgsonova kondenzacija je postopek, ki nam omogoča računanje determinant kvadratnih matrik.

Postopek se imenuje po angleškem pisatelju, matematiku, logiku in anglikanskem diakonu Charlesu Lutwidgu Dodgsonu (1832 – 1898). Znan je bolj kot pisatelj, njegovo najznamenitejše delo je Aličine dogodivščine v čudežni deželi, ki ga je izdal pod psevdonimom Lewis Carroll.

Postopek je sestavljen iz zaporedja kreiranja vedno manjših matrik. Prične se z matriko , nato se nadaljuje s kreiranjem matrike in matrike dokler ne pridemo do matrike z razsežnostjo , ki vsebuje samo en element, ki je enak determinanti začetne matrike.

Splošni postopek[uredi | uredi kodo]

Način določanja vrednosti determinante lahko opišemo s štirimi koraki

1. korak Naj bo matrika z razsežnostjo . Najprej preuredimo matriko tako, da ne bo imela ničel v svoji notranjosti. Notranjost predstavljajo vsi elementi matrike za katere je

2. korak Kreiramo matriko , ki pa ima razsežnost , ki jo sestavljajo determinante vsake od podmatrik matrike . To pomeni, da je vsak enak

3. korak Z uporabo matrike ponovimo drugi korak in dobimo matriko , ki naj bo matrika . Sedaj delimo vsak člen v z odgovarjajočim členom iz notranjosti matrike . Torej dobimo elmente

4. korak Naj bo in Če je potrebno ponavljamo tretji korak tako dolgo, da dobimo matriko . Element, ki ga vsebuje je vrednost determinante prvotne matrike.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Hočemo izračunati vrednost determinante matrike

Najprej izdelamo matriko, ki jo sestavljajo podmatrike z razsežnostjo

Iz tega dobimo naslednjo matriko determinant

Temu sledi deljenje z notranjostjo začetne matrike. Notranjost začetne matrike je enaka po deljenju pa dobimo . Postopek ponovimo in dobimo matriko . Sedaj moramo deliti z elementom, ki predstavlja notranjost matrike , to pa je -5 (problem nastane, kadar je element v notranjosti enak 0. V tem primeru preuredimo vrstice tako, da element ni več enak nič. Pri preurejanju vrstic se vrednost determinante ne spremeni.). V našem primeru dobimo , kar pa je tudi prava vrednost determinante začetne matrike.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]