Levi-Civitajev simbol

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Levi-Civitajev simbol ali tudi permutacijski simbol je določen z:

Predstavitev Levi-Civitajevega simbola
\epsilon_{ijk} = \left\lbrace
\begin{matrix}
+1; & \mbox{pri } (i,j,k) \mbox{ je } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ali } (3,1,2)\\
-1; & \mbox{pri } (i,j,k) \mbox{ je } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ali } (2,1,3)\\
0;  & \mbox{ sicer: }i=j \mbox{ ali } j=k \mbox{ ali } k=i
\end{matrix} \right.

Simbol je vpeljal Tullio Levi-Civita. Zapišejo ga tudi kot (ijk). Uporablja se na mnogih matematičnih in fizikalnih področjih. V linearni algebri lahko na primer vektorski produkt dveh vektorjev zapišemo kot:

 \mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
  = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

ali preprosteje:

 \mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k \; .

Takšen zapis lahko še poenostavimo z Einsteinovim zapisom:

 c_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \; .

Tenzor katerega komponente so dane z Levi-Civitajevimi simboli (kovariantni tenzor ranga 3) včasih imenujemo permutacijski tenzor.

Vedno, kadar med seboj zamenjamo dva indeksa, se spremeni znak. Tako velja:

 \epsilon_{ijk} = - \epsilon_{ikj} \; .

Levi-Civitajev simbol lahko posplošimo na višje razsežnosti:

\epsilon_{ijkl\dots} = \left\lbrace
\begin{matrix}
+1; & \mbox{pri }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je soda permutacija } (1,2,3,4,\dots) \\
-1; & \mbox{pri }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je liha permutacija } (1,2,3,4,\dots) \\
0;  & \mbox{sicer pri dveh enakih indeksih}
\end{matrix} \right.

Za definicijo sode in lihe permutacije glej soda permutacija ali grupa simetrij.

Simbol v tej zvezi je Kroneckerjev simbol delta. Med Levi-Civitajevim simbolom in Kroneckerjevim simbolom delta velja pomembna zveza:

\epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km} \; .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]