Pojdi na vsebino

Lanczosev tenzor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Lanczosev ténzor ali Lanczosev potenciál [láncošev ~] je v splošni teoriji relativnosti tenzor 3. reda, ki generira Weylov tenzor.[1] Uvedel ga je Cornelius Lanczos leta 1949.[2] Njegov teoretični pomen je, da služi kot umeritveno polje za gravitacijsko polje na podoben način, kot po analogiji (elektromagnetni) četverec potenciala ustvarja elektromagnetno polje.[3][4] Tu ima tako enako vlogo kot vektorski potencial.[5]

Definicija

[uredi | uredi kodo]

Lanczosev tenzor je mogoče definirati na nekaj različnih načinov. Najpogostejša sodobna definicija je preko Weyl-Lanczosevih enačb, ki prikazujejo generiranje Weylovega tenzorja iz Lanczosevega tenzorja.[4] Te enačbe, predstavljene spodaj, je podal Takeno leta 1964.[1] Lanczos je tenzor prvotno uvedel kot Lagrangeev multiplikator[2][6] na omejitvenih členih, ki so jih preučevali v variacijskem pristopu k splošni teoriji relativnosti.[7] Pod katero koli definicijo Lanczosev tenzor kaže naslednje simetrije:[5]

Lanczosev tenzor zmeraj obstaja v štirih razsežnostih,[8] ni pa ga mogoče posplošiti na višje razsežnosti.[9] To poudarja posebnost štirih razsežnosti.[3] Upoštevati je treba, da polnega Riemannovega tenzorja na splošno ni mogoče izpeljati samo iz odvodov Lanczosevega potenciala.[8][10] Einsteinove enačbe polja morajo zagotoviti Riccijev tenzor za zaključitev komponent Riccijeve dekompozicije.

Curtrightovo polje ima dinamiko umerilne transformacije, podobno dinamiki Lanczosevega tenzorja. Vendar obstaja v poljubnih razsežnostih večjih od 4.[11]

Weyl-Lanczoseve enačbe

[uredi | uredi kodo]

Weyl-Lanczoseve enačbe izražajo Weylov tenzor v celoti kot odvode Lanczosevega tenzorja:[12]

kjer je Weylov tenzor, podpičja označujejo kovariantne odvode, podpisani okrogli oklepaji pa označujejo simetrizacijo. Čeprav se zgornje enačbe lahko uporabijo za definiranje Lanczosevega tenzorja, kažejo tudi, da ni edinstven, temveč ima umeritveno svobodo pod afino grupo.[13] Če je poljubno vektorsko polje, potem so Weyl-Lanczoseve enačbe invariantne glede na umeritveno transformacijo:

kjer podpisani oglati oklepaji označujejo antisimetrizacijo. Pogosta priročna izbira je Lanczoseva algebrska umeritev , kjer je . Umeritev se lahko naprej omeji prek Lanczoseve diferencialne umeritve . Te izbire umeritev privedejo Weyl-Lanczoseve enačbe na preprostejšo obliko:

Valovna enačba

[uredi | uredi kodo]

Za Lanczosev tenzor potenciala velja valovna enačba:[14]

kjer je d'Alembertov operator, :

pa je Cottonov tenzor. Ker je Cottonov tenzor odvisen le od kovariantnih odvodov Riccijevega tenzorja, se lahko mogoče tolmači kot vrsta snovnega toka.[5] Dodatni samosklopitveni členi nimajo neposrednega elektromagnetnega ekvivalenta. Ti samosklopitveni členi pa ne vplivajo na vakuumske rešitve, kjer Riccijev tenzor izgine in je ukrivljenost v celoti opisana z Weylovim tenzorjem. Tako so v vakuumu Einsteinove enačbe polja enakovredne homogeni valovni enačbi v popolni analogiji z vakuumsko valovno enačbo (elektromagnetnega) četverca potenciala. To kaže na formalno podobnost med gravitacijskim in elektromagnetnim valovanjem, pri čemer je Lanczosev tenzor zelo primeren za preučevanje gravitacijskega valovanja.[15]

V elektromagnetni teoriji je bil vektorski potencial prvič uveden, da bi enačbe klasične elektrodinamike izrazili v preprostejši obliki. V klasični fiziki je edini fizikalni učinek elektromagnetnega polja na električni naboj Lorentzeva sila in ta obstaja samo v območjih, kjer električno ali magnetno polje ne izgine. Aharonov-Bohmov pojav dokazuje, da v kvantni mehaniki ni tako – fizikalni učinki se pojavijo v območjih, kjer električna in magnetna polja izginejo, vektorski potencial pa ne izgine.[5]

V približku šibkega polja, kjer je , je primerna oblika za Lanczosev tenzor v Lanczosevi umeritvi: [5]

Zgled

[uredi | uredi kodo]

Najosnovnejši netrivialni zgled za izražanje Lanczosevega tenzorja je seveda Schwarzschildova metrika.[4] Najenostavnejša, eksplicitna predstavitev komponent v naravnih enotah za Lanczosev tenzor je v tem primeru:

vse druge komponente pa so enake nič do simetrij. Ta oblika pa ni v Lanczosevi umeritvi. Neničelni členi Lanczosevega tenzorja v Lanczosevi umeritvi so:

Nadalje je mogoče pokazati, tudi v tem preprostem zgledu, da Lanczosevega tenzorja na splošno ni mogoče reducirati na linearno kombinacijo spinskih koeficientov Newman-Penroseovega formalizma, ki potrjuje temeljno naravo Lanczosevega tenzorja.[12] Podobni izračuni so bili uporabljeni za konstruiranje poljubnih rešitev tipa D Petrova.[16]

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]

Sklici

[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]