Kvaternionska matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvaternionska matrika je matrika, katere elementi so kvaternioni.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • kvaternioni tvorijo komutativni kolobar, zato lahko lahko definiramo seštevanje in množenje kvaternionskih matrik nad katerimkoli kolobarjem.
  • seštevanje kvaternionskih matrik  A \, in  B \, je določeno kot običajno seštevanje matrik
(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,
  • množenje kvaternionskih matrik je prav tako enako kot množenje ostalih matrik
(AB)_{ij}=\sum_s A_{is}B_{sj}.\,
Primer:Množenje kvaternionskih matrik  U \, in  V \,

U =
\begin{pmatrix}
  u_{11} & u_{12}\\
  u_{21} & u_{22}\\
\end{pmatrix},
\quad
V =
\begin{pmatrix} 
  v_{11} & v_{12}\\
  v_{21} & v_{22}\\
\end{pmatrix},
nam da produkt

UV =
\begin{pmatrix}
  u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21} & u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\
  u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21} & u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\
\end{pmatrix}.
Za množenje velja običajen zakon asociativnosti in distributivnosti.
  • sled matrike je tudi za kvaternionske matrike določena kot vsota diagonalnih elementov. V splošnem pa velja
sl (AB)\ne sl (BA) \,
  • množenje z leve strani s skalarjem je enako
(cA)_{ij}=cA_{ij}\, [1]

Determinanta kvaternionske matrike[uredi | uredi kodo]

Ni znan način določanja determinante kvdratne kvaternionske matrike. Vrednosti determinante so kvaternioni [2]. Lahko se določi tudi determinanta s kompleksno vrednostjo.

Kvaternion   a + bi + cj + dk \, lahko prikažemo kot kompleksno matriko

\begin{bmatrix}~~a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}..

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Kvaternionske matrike se uporabljajo v kvantni mehaniki [3] in pri reševanju problema več teles [4].

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Tapp, Kristopher (2005). Matrix groups for undergraduates. AMS Bookstore. str. 11 ff. ISBN 0-8218-3785-0. 
  2. ^ Helmer Aslaksen (1966). "Quaternionic determinants". The Mathematical Intelligencer 18 (3): 57–65. doi:10.1007/BF03024312. 
  3. ^ N. Rösch (1983). "Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem". Chemical Physics 80 (1–2): 1–5. doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5. 
  4. ^ Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig (1997). "Quaternionic matrices". Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. Wiley. str. 32–34. ISBN 978-0-471-96200-7. 

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]