Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Interpolácija je v matematiki približna vrednost funkcije znotraj obsega znanih nepovezanih vrednosti neodvisne spremenljivke. Imejmo na primer naslednjo tabelo vrednosti fukcije

Vidimo, da lahko odvisnost f(x) prilegamo s funkcijo x². V splošnem pri interpolaciji ni tako. Radi bi vedeli vrednost funkcije f(x), ki odgovarja x = 1,7. Najenostavnejša je linearna interpolacija med vrednostmima za x = 1 in x = 2:

Če je osnovna funkcija res , je prava rešitev seveda

Na ta način po navadi interpolacija ni natančna. Zaradi tega lahko interpolacijo uporabimo kot učinkovit algoritmski postopek za 'ugibanje' številskih vrednosti, ki manjkajo, za spajanje točk v grafičnem prikazu, iskanje najboljšega prilega premic njihovim nagibom. V bistvu jo lahko uporabimo vsakokrat kadar želimo pretvoriti nezvezen niz podatkov v zvezno funkcijo.

Pri ekstrapolaciji za razliko iščemo vrednosti funkcije zunaj danega obsega znanih vrednosti. Moramo biti pazljivi, ker tukaj rezultati niso vedno smiselni.

Interpolacijski algoritmi[uredi | uredi kodo]

Pri iskanju ustreznega algoritma za interpolacijo vrednosti je potrebno upoštevati več stvari. Na primer kako dobro želimo prilagoditi funkcijo, koliko vrednosti želimo uporabiti za prilagajanje.

Interpolacijski postopki[uredi | uredi kodo]

Primerjajmo nekaj splošno uporabljanih interpolacijskih algoritmov, da dobimo vpogled kdaj je kakšen uporaben. V primerih bomo označili zaporedne vrednosti v ciljnem podatkovnem nizu kot in vrednost, ki jo interpoliramo kot . Tako je naša funkcija

Primer linearne interpolacije[uredi | uredi kodo]

Najpreprostejši postopek je linearna interpolacija, v angleških virih tudi označen z navideznim akronimom lerp.

Imamo dve vrednosti v točkah in . Potem določimo približni vrednosti z uteženo srednjo vrednostjo med dvema točkama, ki sta odvisni od vrednosti . To nam da:

Ta algoritem je hiter in enostaven. Težava je, ker dobljena funkcija ni zvezno odvedljiva (oziroma ni odvedljiva pri ).

Primer interpolacije s kosinusom[uredi | uredi kodo]

Ta algoritem je malo obsežnejši od linearne interpolacije, vendar ne preveč.

Tukaj vzamemo dve vrednosti in z vrednostjo za izračunamo kosinus na intervalu , preslikamo v , kar se na koncu preslika v točki in .

To je le malo boljše od linearne interpolacije. Dobljena funkcija je sicer zvezno odvedljiva, toda odvedljivost je napovedljiva, ker je interpolacija še vedno linearna (odvod je v zmeraj enak nič).

Primer kubične interpolacije[uredi | uredi kodo]

Kubični algoritem je primer polinomske interpolacije. Ker je število potrebnih koeficientov za izračun kubične funkcije le štiri, je to število členov v večini primerov dovolj.

Aproksimacijski polinom lahko zapišemo v obliki:

kjer se preslika na točke

Sedaj enačbe rešimo za in , da dobimo:

Z zgornjimi koeficienti tvorimo polinom in ga izračunamo za izbrani .

Čeprav moramo tukaj najprej izračunati koeficiente krivulje, je ta postopek veliko natančnejši od linearne interpolacije.

Interpolacija v višjih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Večrazsežni interpolacijski postopki so posebej prilagojeni od interpolacije vzdolž številskih premic do interpolacije vzdolž ravnin, prostornin ali celo višjih razsežnosti polj numeričnih podatkov.

Dve razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]