Elementarna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Elementarna matrika je matrika, ki se od enotske matrike razlikuje samo v eni elementarni vrstični operaciji. Elementarne matrike tvorijo splošno linearno grupo obrnljivih matrik. Znani so trije tipi elementarnih matrik z razsežnostjo  n \times n \,:

Elementarna vrstična oparacija[uredi | uredi kodo]

Elementarne vrstične oparacije ne spremenijo rešitve sistema linearnih enačb, ki ga opisuje matrika.

Znane so tri vrste elementarnih matrik, ki odgovarjajo trem tipom vrstičnih operacij (enako velja tudi za stolpce))

  • sprememba vrstic pomeni, da dano vrstico zamenjamo z drugo vrstico
R_i \leftrightarrow R_j
  • množenje vrstice pomeni, da lahko vsak element v vrstici pomnožimo z neničelno konstanto
kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{kjer je}\quad k \neq 0 \,
  • dodajanje vrstice pomeni, da vrstico nadomestimo z vsoto te vrstice in mnogokratnikom neke druge vrstice
R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{kjer je } i \neq j \,

Elementarna matrika se dobi tako, da izvedemo eno izmed zgornjih operacij na enotski matriki.

Množenje vrstice pomeni, da množimo vse elemente v vrstici enotske matrike s konstanto, ki ni enaka 0.
Primer:


T_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad


Dodajanje vrstice pomeni, da dodamo neki vrstici s konstanto pomnoženo drugo vrstico.
Primer:


T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]