Dualni kvaternion

Dualni kvaternion je v teoriji kolobarjev sestavni del nekomutativnega in neasociativnega kolobarja. Dualni kvaternioni so zgrajeni na podoben način kot običajni kvaternioni. Od njih se razlikujejo samo v tem, da jih namesto realnih števil kot koeficienti sestavljajo dualna števila.

Dualni kvaternion lahko prikažemo v obliki

$q=q_{0}+\epsilon q_{\epsilon }\,$

kjer je

• $q_{0}\,$ običajni kvaternion
• $\epsilon \,$ dualna enota za katero velja $\epsilon ^{2}=0\,$ (nilpotentnost).

Operacije z dualnimi kvaternioni

Seštevanje

Seštevanje dualnih kvaternionov je enostavno seštevanje njegovih koeficientov.

Množenje

Dualne kvaternione množimo tako, da množimo njegove komponente.

Imamo dva dualna kvaterniona:

$Q_{1}=r_{1}+\varepsilon d_{1}$

in

$Q_{2}=r_{2}+\varepsilon d_{2}$.

Njun zmnožek je enak: $Q_{1}*Q_{2}=r_{1}*r_{2}+\varepsilon (r_{1}*d_{2}+d_{1}*r_{2})\,\!$.

Pri tem pa ne nastopa $d_{1}*d_{2}\,$, ker je $\epsilon ^{2}=0\,$.

To nam da naslednjo tabelo za množenje:

$Q_{1}*Q_{2}\,\!$	$Q_{2}.1\,\!$	$Q_{2}.i\,\!$	$Q_{2}.j\,\!$	$Q_{2}.k\,\!$	$Q_{2}.\varepsilon$	$Q_{2}.\varepsilon i$	$Q_{2}.\varepsilon j$	$Q_{2}.\varepsilon k$
$Q_{1}.1\,\!$	1	i	j	k	$\varepsilon$	$\varepsilon i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$Q_{1}.i\,\!$	i	-1	k	-j	$\varepsilon i$	$-\varepsilon$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$
$Q_{1}.j\,\!$	j	-k	-1	i	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$-\varepsilon$	$\varepsilon i$
$Q_{1}.k\,\!$	k	j	-i	-1	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon i$	$-\varepsilon$
$Q_{1}.\varepsilon$	$\varepsilon$	$\varepsilon i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$	0	0	0	0
$Q_{1}.\varepsilon i$	$\varepsilon i$	$-\varepsilon$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$	0	0	0	0
$Q_{1}.\varepsilon j$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$-\varepsilon$	$\varepsilon i$	0	0	0	0
$Q_{1}.\varepsilon k$	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon i$	$-\varepsilon$	0	0	0	0

.

Konjugirani dualni kvaternioni

Dualni kvaternioni imajo tri konjugirane oblike:

$q^{\dagger }=r^{*}+\varepsilon d^{*}$

$q_{\varepsilon }=r-\varepsilon d$

$q_{\varepsilon }^{\dagger }=r^{*}-\varepsilon d^{*}\,$

kjer je

• $q\,$ dualni kvaternion
• $r\,$ realni del kvaterniona
• $d\,$ dualni del

Obratna vrednost dualnega kvaterniona

Podobno kot pri običajnem kvaternionu, se obratna vrednost izračuna po obrazcu: ${\hat {Q}}^{-1}={{\hat {Q}}^{\dagger } \over {{\hat {Q}}^{2}}}\,$.

kjer je

• z ${\hat {Q}}\,$ označen dualni kvaternion.

Norma dualnega kvaterniona

$\|{\hat {Q}}\|={\sqrt {{\hat {Q}}{\hat {Q}}^{\dagger }}}={\sqrt {{\hat {Q}}^{\dagger }{\hat {Q}}}}\,$

Zunanje povezave

• Dualni kvaternioni na Euclidian Space (angleško)
• William Kingdom Clifford (angleško)
• Funkcije dualnih kvaternionov (angleško)