Dualni kvaternion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dualni kvaternion je v teoriji kolobarjev sestavni del nekomutativnega in neasociativnega kolobarja. Dualni kvaternioni so zgrajeni na podoben način kot običajni kvaternioni. Od njih se razlikujejo samo v tem, da jih namesto realnih števil kot koeficienti sestavljajo dualna števila.

Dualni kvaternion lahko prikažemo v obliki

 q = q_0 + \epsilon q_{\epsilon} \,

kjer je

  •  q_0 \, običajni kvaternion
  •  \epsilon \, dualna enota za katero velja  \epsilon^2 = 0 \, (nilpotentnost).

Operacije s dualnimi kvaternioni[uredi | uredi kodo]

Seštevanje[uredi | uredi kodo]

Seštevanje dualnih kvaternionov je enostavno seštevanje njegovih koeficientov.

Množenje[uredi | uredi kodo]

Dualne kvaternione množimo tako, da množimo njegove komponente.

Imamo dva dualna kvaterniona:

Q_1 = r_1 + \varepsilon d_1

in

Q_2 = r_2 + \varepsilon d_2.

Njun zmnožek je enak: Q_1 * Q_2 = r_1 * r_2 + \varepsilon (r_1 * d_2 + d_1 * r_2)\,\!.

Pri tem pa ne nastopa  d_1 * d_2 \,, ker je  \epsilon^2 = 0 \,.

To nam da naslednjo tabelo za množenje:

Q_1 * Q_2\,\! Q_2.1\,\! Q_2.i\,\! Q_2.j\,\! Q_2.k\,\! Q_2.\varepsilon Q_2.\varepsilon i Q_2.\varepsilon j Q_2.\varepsilon k
Q_1.1\,\! 1 i j k \varepsilon \varepsilon i \varepsilon j \varepsilon k
Q_1.i\,\! i -1 k -j \varepsilon i -\varepsilon \varepsilon k -\varepsilon j
Q_1.j\,\! j -k -1 i \varepsilon j -\varepsilon k -\varepsilon \varepsilon i
Q_1.k\,\! k j -i -1 \varepsilon k \varepsilon j -\varepsilon i -\varepsilon
Q_1.\varepsilon \varepsilon \varepsilon i \varepsilon j \varepsilon k 0 0 0 0
Q_1.\varepsilon i \varepsilon i -\varepsilon \varepsilon k -\varepsilon j 0 0 0 0
Q_1.\varepsilon j \varepsilon j -\varepsilon k -\varepsilon \varepsilon i 0 0 0 0
Q_1.\varepsilon k \varepsilon k \varepsilon j -\varepsilon i -\varepsilon 0 0 0 0

.

Konjugirani dualni kvaternioni[uredi | uredi kodo]

Dualni kvaternioni imajo tri konjugirane oblike:

q^\dagger = r^* + \varepsilon d^*
q_\varepsilon = r - \varepsilon d
q^\dagger_\varepsilon = r^* - \varepsilon d^* \,

kjer je

  •  q \, dualni kvaternion
  •  r \, realni del kvaterniona
  •  d \, dualni del

Obratna vrednost dualnega kvaterniona[uredi | uredi kodo]

Podobno kot pri običajnem kvaternionu, se obratna vrednost izračuna po obrazcu: \hat Q^{-1} = {\hat Q^\dagger \over {\hat Q^2}} \,.

kjer je
  • z  \hat Q\, označen dualni kvaternion.

Norma dualnega kvaterniona[uredi | uredi kodo]

\|\hat Q\| = \sqrt{\hat Q\hat Q^\dagger} = \sqrt{\hat Q^\dagger \hat Q} \,

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]