Comptonova valovna dolžina

Comptonova valovna dolžina (oznaka $\lambda _{\rm {C}}\,$) je kvantnomehanska značilnost delca in fizikalna konstanta. Vpeljal jo je Arthur Holly Compton pri svojem opisu sipanja fotonov z elektroni (Comptonov pojav). Comptonova valovna dolžina delca je enaka valovni dolžini fotona, katerega energija je enaka energiji mirovne mase delca. Podana je z enačbo:

$\lambda _{\rm {C}}={\frac {h}{mc}}\!\,,$

kjer je:

• $h\,$ Planckova konstanta,
• $m\,$ mirovna masa delca,
• $c\,$ hitrost svetlobe v vakuumu.

Vrednost CODATA 2006 za Comptonovo valovno dolžino elektrona (oznaki $\lambda _{\rm {C}}^{\rm {e}}\,$ ali $\lambda _{\rm {e}}\,$) je 2,4263102175(33)×10⁻¹² m. Drugi osnovni delci imajo različno Comptonovo valovno dolžino.

Reducirana Comptonova valovna dolžina

Manjša reducirana Comptonova valovna dolžina je enaka:

${\overline {\lambda }}_{\rm {C}}={\frac {\lambda _{\rm {C}}}{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}\!\,.$

Reducirana Comptonova valovna dolžina je naravna predstavitev mase na kvantnem nivoju. Kot taka se pojavlja v mnogih osnovnih enačbah kvantne mehanike. Pojavlja se v relativistični Klein-Gordonovi enačbi za prosti delec:

$\square \ \psi ={\frac {1}{{\overline {\lambda }}_{\rm {C}}^{2}}}\psi \!\,.$

Pojavlja se v Diracovi enačbi:

$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{{\overline {\lambda }}_{\rm {C}}}}\psi =0\!\,,$

kar je kovariantna oblika preko Einsteinovega zapisa.

Reducirana Comptonova valovna dolžina se pojavlja tudi v Schrödingerjevi enačbi, čeprav je v običajni predstavitvi enačbe zakrita. Tradicionalna oblika Schrödingerjeve enačbe za elektron v atomu, podobnem vodikovem, je:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze_{0}^{2}}{r}}\psi \!\,.$

Če jo delimo s $\hbar c\,$ in jo zapišemo s konstanto fine strukture, velja:

${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {{\overline {\lambda }}_{\rm {C}}}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi \!\,.$

Povezava z drugimi konstantami

Reducirana Comptonova valovna dolžina elektrona spada med trojico podobnih enot za dolžino. Drugi dve sta Bohrov polmer $r_{\rm {B}}\,$ in klasični polmer elektrona $r_{\rm {e}}\,$. Reducirana Comptonova valovna dolžina elektrona je definirana z mirovno maso elektrona $m_{\rm {e}}\,$, Planckovo konstanto $\hbar \,$ in hitrostjo svetlobe $c\,$. Bohrov polmer je definiran z $m_{\rm {e}}\,$, $\hbar \,$ in osnovnim nabojem $e_{0}\,$. Klasični polmer elektrona je definiran z $m_{\rm {e}}\,$, $c\,$ in $e_{0}\,$. Vsako od teh treh dolžin lahko zapišemo z drugima dvema s pomočjo konstante fine strukture $\alpha \,$:

$r_{\rm {e}}=\alpha {\overline {\lambda }}_{\rm {e}}=\alpha ^{2}r_{\rm {B}}\!\,.$

Nereducirana Comptonova valovna dolžina elektrona je povezana z Rydbergovo konstanto:

$2R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{\lambda _{\rm {e}}}}\!\,.$