Vivianijeva krivulja

Vivianijeva krivulja kot presek sfere in valja (v zeleni barvi).

Vivianijeva krivulja (tudi Vivianijevo okno) je zaprta prostorska krivulja, ki jo dobimo v preseku sfere in valja tako, da je valj tangenta na sfero in da teče skozi središče sfere.

Imenuje se po italijanskem matematiku in fiziku Vincenzu Vivianiju (1622 - 1703).

Krivulja se dobi s presekom sfere, ki ima polmer 2a in je njena enačba dana z

$x^2+y^2+z^2=4a^2 \,$

in valjem, ki ima središče v točki $(a,0,0)$ s polmerom $a$ in danim z enačbo

$(x-a)^2+y^2=a^2. \,$

Krivulja je dana s parametričnimi enačbami

$x = a( 1+\cos(t) )$

$y = a\sin(t)$

$z = 2a\sin\left(\frac{t}{2}\right)$

Dolžina loka

Vivianijeva krivulja ima dolžino loka

$8\sqrt {2}aE(1/2\sqrt {2})$

kjer je

• $E (k) \,$ popolni eliptični integral druge vrste.

Funkcija dolžine loka pa je

$2a\sqrt {2}E(1/2t, 1/2\sqrt {2})$.

Ukrivljenost

Funkcija ukrivljenosti je

$\kappa = \frac {\sqrt{13 + 3cos t}} {a(3 + \cos t)^{3/2}}$

Vzvoj (torzija)

Funkcija vzvoja je

$\tau(t) = \frac {6 \cos {1 \over 2 t}} {a(13 +3 \cos t)}$.

Glej tudi

• presek sfere in valja

Zunanje povezave

• Vivianova krivulja v Encyclopedia of Science (v angleščini)
• Vivianijeva krivulja na WolframAlpha (v angleščini)
• Vivianijeva krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (tudi simulacije) (v francoščini)