Dolžina loka

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dolžína lóka (oziroma dolžína lóka krivúlje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v premico.

Določanje dolžine loka[uredi | uredi kodo]

Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo Pitagorov izrek.

Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno funkcijo  f(x) , ki ima zvezni odvod v intervalu  [a, \text { } b] , tako da je f'(x)=\frac{dy}{dx}. Dolžina loka med točkama  x= a \, in  x= b \, se določa z:

 s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, {\rm d} x \!\, .

Kadar pa je funkcija dana v polarnem koordinatnem sistemu kot  r = f(\theta) , je dolžina loka podana z:

 s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { {\rm d} x^2 + {\rm d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t}\right)^2 } \, {\rm d} t \!\, .

Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti numerično integriranje.

Odvod[uredi | uredi kodo]

Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na neskončno mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.

Na sliki na desni strani lahko uporabimo Pitagorov izrek in dobimo:

 {\rm d} s = \sqrt{{\rm d} x^2 + {\rm d} y^2} \!\,

ali v drugi obliki:

 \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t}\bigg)^2} \, {\rm d} t \!\, .

Kadar je  y \, funkcija  x \,, lahko vzamemo  t =x \,, in dobimo za dolžino loka od  x=a do  x=b :

\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}\bigg)^2} \, {\rm d} x \!\, .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]