Standardna baza

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Vsakvektor a v treh razsežnostih je linearna kombinacija standardnih baznih vektorjev i, j in k.

Standardna baza (tudi naravna baza ali redkeje kànonska baza) je v matematiki za evklidski prostor sestavljena iz enotskih vektorjev, ki imajo smer osi kartezičnega koordinatnega sistema.

Standardna baza je definirana kot skupina ortogonalnih enotskih vektorjev, ki tvorijo urejeno ortonormalno bazo. Ni pa vedno ortonormalna baza tudi standardna baza. Zgled: naslednja dva vektorja sta ortogonalna enotska vektorja:

e_1 = \left( {\sqrt 3 \over 2} ,  {1 \over 2} \right) \!\, ,
e_2 = \left( {1 \over 2} , {-\sqrt 3 \over 2} \right) \!\, ,

vendar po definiciji ne tvorita standardne baze.

Standardna baza v trirazsežnem prostoru so vektorji:

\mathbf{e}_x = (1,0,0),\quad \mathbf{e}_y = (0,1,0),\quad \mathbf{e}_z=(0,0,1) \!\, ,

kjer:

Vektorji, ki sestavljajo bazo, se imenujejo bazni vektorji.

Uporabljajo se še druge oznake kot so na primer:  \big\{ \mathbf {e}_1, \mathbf{e}_2,  \mathbf{e}_3 \big\} \,,  \big\{ \vec i, \vec  j, \vec k \big\} \, ali s posebno oznako, ki pomeni enotski vektor  \big\{ \hat i, \hat j, \hat k,  \big\} \,. Bazni vektorji se lahko zapišejo tudi kot:


{\vec i} =  \vec e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad
{ \vec j} =  \vec e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad
{ \vec k} =  \vec e_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \!\, .

Poljuben vektor se lahko prikaže kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Zgled: vektor  \vec v \, se lahko zapiše kot:

v_x\,\mathbf{e}_x + v_y\,\mathbf{e}_y + v_z\,\mathbf{e}_z \!\, ,

kjer so:

  •  v_x, v_y, v_z \, skalarne komponente vektorja  \vec v \,
  •  e_x, e_y, e_z \, bazni vektorji

V n-razsežnem evklidskem prostoru je n standardnih baznih vektorjev:

\{ \mathbf{e}_i : 1\leq i\leq n\} \!\, ,

kjer je:

  •  n \, število razsežnosti
  •  e_i \, vektor, ki ima dolžino 1 na i-ti koordinati in dolžino 0 na vseh drugih koordinatah. To se lahko zapiše kot:
\begin{matrix}
e_1&=&(1,0,0,\ldots,0),\\
e_2&=&(0,1,0,\ldots,0),\\
&\vdots&\\
e_n&=&(0,0,0,\ldots,1)
\end{matrix}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]