Standardna baza

Vsak vektor a v treh razsežnostih je linearna kombinacija standardnih baznih vektorjev i, j in k.

Standardna baza (tudi naravna baza ali redkeje kànonska baza) je v matematiki za Evklidski prostor sestavljena iz enotnih vektorjev, ki imajo smer osi Kartezičnega koordinatnega sistema.

Standardna baza je definirana kot skupina ortogonalnih enotskih vektorjev, ki tvorijo urejeno ortonormalno bazo. Ni pa vedno ortonormalna baza tudi standardna baza. Primer: naslednja dva vektorja sta ortogonalna enotska vektorja

$e_1 = \left( {\sqrt 3 \over 2} , {1 \over 2} \right) \,$

$e_2 = \left( {1 \over 2} , {-\sqrt 3 \over 2} \right) \,$

vendar po definiciji ne tvorita standardne baze.

Standardna baza v trirazsežnem prostoru so vektorji

$\mathbf{e}_x = (1,0,0),\quad \mathbf{e}_y = (0,1,0),\quad \mathbf{e}_z=(0,0,1).$

kjer

• $\mathbf{e}_x \,$ kaže v smeri x osi
• $\mathbf{e}_y \,$ kaže v smeri y osi
• $\mathbf{e}_z \,$ kaže v smeri z osi

Vektorje, ki sestavljajo bazo, imenujemo bazni vektorji.

Uporabljajo se še druge oznake kot so na primer: $\big\{ \mathbf {e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \big\} \,$, $\big\{ \vec i, \vec j, \vec k \big\} \,$ ali s posebno oznako, ki pomeni enotni vektor $\big\{ \hat i, \hat j, \hat k, \big\} \,$. Bazne vektorje lahko zapišemo tudi kot

${\vec i} = \vec e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad { \vec j} = \vec e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad { \vec k} = \vec e_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Poljuben vektor lahko prikažemo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Primer: vektor $\vec v \,$ lahko zapišemo kot

$v_x\,\mathbf{e}_x + v_y\,\mathbf{e}_y + v_z\,\mathbf{e}_z,$

kjer so

• $v_x, v_y, v_z \,$ skalarne komponente vektorja $\vec v \,$
• $e_x, e_y, e_z \,$ so bazni vektorji

V n-razsežnem Evklidskem prostoru imamo n standardnih baznih vektorjev

$\{ \mathbf{e}_i : 1\leq i\leq n\},$

kjer je

• $n \,$ število razsežnosti
• $e_i \,$ je vektor, ki ima dolžino 1 na i-ti koordinati in dolžino 0 na vseh drugih koordinatah. To lahko zapišemo kot

$\begin{matrix} e_1&=&(1,0,0,\ldots,0),\\ e_2&=&(0,1,0,\ldots,0),\\ &\vdots&\\ e_n&=&(0,0,0,\ldots,1) \end{matrix}$

Zunanje povezave

• Standardna baza v Priročniku za srednje šole (v slovenščini)
• Standardna baza na MathWorld (v angleščini)
• Standardna baza (v angleščini)