Enotski vektor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Enôtski véktor (tudi enôtni véktor[1]:605[2]:101 ali véktorska enôta[1][2]) v normiranem vektorskem prostoru je v matematiki vektor (po navadi evklidski vektor) z dolžino (modulom[1]) 1 (enoto dolžine):

 \|\mathbf{e}\| \equiv \|\vec\mathbf{e}\| \equiv \|\mathbf\hat{e}\| \equiv | \mathbf\hat{e} | \  \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1 \!\, .

Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s strešico, na primer kot \mathbf\hat{e}, in se izgovori »e strešica«.

Velikost produkta enotskega vektorja s skalarjem c je vedno pozitivna (oziroma nenegativna) in je enaka:

 \| c \, \mathbf\hat{e} \| = \| \mathbf\hat{e} \, c \| = |c| \|\mathbf\hat{e}\| = |c| \!\, .

Tu je |c| \!\, absolutna vrednost c. Posebej je seveda:

 \| 0 \, \mathbf\hat{e} \| = 0 \!\, .

V evklidskem prostoru je skalarni produkt dveh enotskih vektorjev \mathbf\hat{e}_{1} in \mathbf\hat{e}_{2} kar kosinus kota med njima. To sledi iz enačbe za skalarni produkt, saj sta njuni dolžini enaki 1:

 \mathbf\hat{e}_{1} \cdot \mathbf\hat{e}_{2} = \|\mathbf\hat{e}_{1}\| \|\mathbf\hat{e}_{2}\| \cos\varphi = \cos\varphi; \quad (\|\mathbf\hat{e}_{1}\| = \|\mathbf\hat{e}_{2}\| = 1) \!\, .

Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj:

 \mathbf\hat{e} \cdot \mathbf\hat{e} = \|\mathbf\hat{e}\| \|\mathbf\hat{e}\| \cos\varphi = 1; \quad (\varphi = 0^{\circ}) \!\, ,

dveh pravokotnih enotskih vektorjev:

 \mathbf\hat{e}_{1} \cdot \mathbf\hat{e}_{2} = \|\mathbf\hat{e}_{1}\| \|\mathbf\hat{e}_{2}\| \cos\varphi = 0; \quad (\mathbf\hat{e}_{1} \perp \mathbf\hat{e}_{2} \wedge \varphi = 90^{\circ}) \!\, ,

ali ničelnega in enotskega vektorja:

 \vec\mathbf{0} \cdot \mathbf\hat{e} = \|\vec\mathbf{0}\| \|\mathbf\hat{e}\| \cos\varphi = 0 \!\, .

Pri tem tudi kot \varphi ni določen, saj ničelni vektor nima smeri, privzame pa se, da je pravokoten na enotski vektor, oziroma na vse vektorje, kakor tudi sam nase.

Normalizacija vektorja[uredi | uredi kodo]

Vsak neničelni vektor \vec\mathbf{u} se lahko zapiše kot skalarni produkt njegove norme (dolžine) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom:

 \vec\mathbf{u} = \|\vec\mathbf{u}\| \cdot \mathbf\hat{e}  \!\, ,

tako da je normalizíran véktor (verzor ali enôtski véktor sméri véktorja[1]) \mathbf\hat{u} neničelnega vektorja \vec\mathbf{u} enotski vektor z enako smerjo in smislom kot \vec\mathbf{u}:

 \vec\mathbf{u}^{0} \equiv \vec\mathbf{u}_{0} \equiv \mathbf\hat{u} = \frac{1}{\|\vec\mathbf{u}\|} \cdot \vec\mathbf{u} = \frac{\vec\mathbf{u}}{\|\vec\mathbf{u}\|} = \frac{\vec\mathbf{u}}{u} ; \qquad  \|\vec\mathbf{u}\| \ne 0  \!\, \vee \vec\mathbf{u} \ne \vec\mathbf{0},

kjer je \|\vec\mathbf{u}\| norma (ali dolžina) vektorja \vec\mathbf{u}, \vec\mathbf{0} pa ničelni vektor. Izraz normaliziran vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.

Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi baze. Vsak vektor v prostoru se lahko zapiše kot linearna kombinacija enotskih vektorjev. Kot baze se največkrat srečajo kartezične, polarne, valjne (cilindrične) in krogelne (sferne) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na simetrijo koordinatnega sistema.

Kartezične koordinate[uredi | uredi kodo]

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi x, y in z, oziroma, ki ležijo na oseh, imenujejo vektorji koordinatnega sistema. Njihove koordinate so:

 \mathbf\hat{i} = (1,0,0), \,\, \mathbf\hat{j} = (0,1,0), \,\, \mathbf\hat{k} = (0,0,1) \,\, ,

ali zapisane v stolpcih:

 \mathbf\hat{i} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{j} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{k} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \,\, .

Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom (kot \mathbf{i}, \vec\mathbf{i} ali \vec{i}) in ne s strešicami. Večinoma je privzeto, da so \vec\mathbf{i}, \vec\mathbf{j} in \vec\mathbf{k} (ali \vec{i}, \vec{j} in  \vec{k}) vektorji kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi (\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z}), (\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3}), (\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z}) ali (\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3}) z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za indekse i, j, k, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled standardne baze.

Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev \vec\mathbf{i}, \vec\mathbf{j} in \vec\mathbf{k}, so tri njegove skalarne komponente »smerni kosinusi«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opiše usmerjenost (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segment usmerjene osi.

Valjne koordinate[uredi | uredi kodo]

Enotski vektorji, primerni za valjno (cilindrično) simetrijo, so:

  • \mathbf\hat{s} (označbi tudi \mathbf\hat{r} ali \boldsymbol{\hat \rho}), razdalja od osi simetrije,
  • \boldsymbol\hat \phi, kot, merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi x, in
  • \mathbf\hat{z}.

S kartezično bazo \mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z} so povezane z:

 \mathbf\hat{s} = \cos \phi\mathbf\hat{x} + \sin \phi\mathbf\hat{y} \!\, ,
 \boldsymbol{\hat \phi} = -\sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} \!\, ,
 \mathbf\hat{z}=\mathbf\hat{z} \!\, .

Treba je omeniti, da sta \mathbf\hat{s} in \boldsymbol{\hat \phi} funkciji \phi\!\, in po smeri nista konstantni. Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej Jacobijeva matrika. Odvodi po \phi\,\, so, od tega dva neničelna:

 \frac{\partial \mathbf\hat{s}} {\partial \phi} = -\sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} = \boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,
 \frac{\partial \boldsymbol{\hat \phi}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \phi\mathbf\hat{y} = -\mathbf\hat{s} \!\, ,
 \frac{\partial \mathbf\hat{z}} {\partial \phi} = \vec\mathbf{0} \!\, .

Krogelne koordinate[uredi | uredi kodo]

Enotski vektorji, primerni za krogelno (sferno) simetrijo, so:

  • \mathrm{\hat{r}}, radialna razdalja od izhodišča,
  • \boldsymbol{\hat{\phi}}, kot v ravnini x-y, merjen v nasprotni smeri od urinih kazalcev od pozitivne osi x, in
  • \boldsymbol{\hat \theta}, kot od pozitivne osi z.

Da je degeneracija čim manjša, je polarni kot običajno 0\leq\theta\leq 180^\circ. Posebej je pomembno poudariti v kakšnem smislu se rabi poljubna urejena trojica v krogelnih koordinatah, saj sta vlogi \boldsymbol{\hat \phi} in \boldsymbol{\hat \theta} velikokrat zamenjani. Tukaj se rabi ameriški dogovor o poimenovanju. Tako je azimutni kot \phi\!\, enak kot v valjnih koordinatah. Povezave s kartezično bazo so:

 \mathbf\hat{r} = \sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{x}  + \sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} + \cos \theta\mathbf\hat{z} \!\, ,
 \boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \sin \theta\mathbf\hat{z} \!\, ,
 \boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} \!\, .

Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od \phi\!\, kot od \theta\!\,, tako da obstaja 6 možnih odvodov, od tega 5 neničelnih:

 \frac{\partial \mathbf\hat{r}} {\partial \phi} = -\sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{x} + \sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{y} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,
 \frac{\partial \mathbf\hat{r}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \sin \theta\mathbf\hat{z}= \boldsymbol{\hat \theta} \!\, ,
 \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \phi} =-\cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{y} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,
 \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \cos \theta\mathbf\hat{z} = -\mathbf\hat{r} \!\, ,
 \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \phi\mathbf\hat{y} = -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}} - \sin \theta\mathbf\hat{r} \!\, ,
 \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \theta} = \vec\mathbf{0} \!\, .

Krivočrtne koordinate[uredi | uredi kodo]

V splošnem se lahko opiše koordinatni sistem s pomočjo linearno neodvisnih enotskih vektorjev \mathbf\hat{e}_{n}, ki so enaki prostostni stopnji prostora. Za običajni trirazsežni prostor se jih lahko označi kot \mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3}. Skoraj vedno je priporočljivo, da je sistem po definiciji ortonormalen in desnosučen:

 \mathbf\hat{e}_{i} \cdot \mathbf\hat{e}_{j} = \delta_{ij} \!\, ,
 \mathbf\hat{e}_{1} \cdot (\mathbf\hat{e}_{2} \times \mathbf\hat{e}_{3}) = 
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \!\, ,

pri čemer je \delta_{ij} Kroneckerjev simbol delta.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]