Enotski vektor

Enôtski véktor (tudi enôtni véktor ali véktorska enôta) v normiranem vektorskem prostoru je v matematiki vektor (po navadi evklidski vektor) z dolžino (modulom) 1 (enoto dolžine):

$\|\mathbf{e}\| \equiv \|\vec\mathbf{e}\| \equiv \|\mathbf\hat{e}\| \equiv | \mathbf\hat{e} | \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1 \!\, .$

Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s strešico, na primer kot $\mathbf\hat{e}$, in se izgovori »e strešica«.

Velikost produkta enotskega vektorja s skalarjem c je vedno pozitivna (oziroma nenegativna) in je enaka:

$\| c \, \mathbf\hat{e} \| = \| \mathbf\hat{e} \, c \| = |c| \|\mathbf\hat{e}\| = |c| \!\, .$

Tu je $|c| \!\,$ absolutna vrednost c. Posebej je seveda:

$\| 0 \, \mathbf\hat{e} \| = 0 \!\, .$

V evklidskem prostoru je skalarni produkt dveh enotskih vektorjev $\mathbf\hat{e}_{1}$ in $\mathbf\hat{e}_{2}$ kar kosinus kota med njima. To sledi iz enačbe za skalarni produkt, saj sta njuni dolžini enaki 1:

$\mathbf\hat{e}_{1} \cdot \mathbf\hat{e}_{2} = \|\mathbf\hat{e}_{1}\| \|\mathbf\hat{e}_{2}\| \cos\varphi = \cos\varphi; \quad (\|\mathbf\hat{e}_{1}\| = \|\mathbf\hat{e}_{2}\| = 1) \!\, .$

Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj:

$\mathbf\hat{e} \cdot \mathbf\hat{e} = \|\mathbf\hat{e}\| \|\mathbf\hat{e}\| \cos\varphi = 1; \quad (\varphi = 0^{\circ}) \!\, ,$

dveh pravokotnih enotskih vektorjev:

$\mathbf\hat{e}_{1} \cdot \mathbf\hat{e}_{2} = \|\mathbf\hat{e}_{1}\| \|\mathbf\hat{e}_{2}\| \cos\varphi = 0; \quad (\mathbf\hat{e}_{1} \perp \mathbf\hat{e}_{2} \wedge \varphi = 90^{\circ}) \!\, ,$

ali ničelnega in enotskega vektorja:

$\vec\mathbf{0} \cdot \mathbf\hat{e} = \|\vec\mathbf{0}\| \|\mathbf\hat{e}\| \cos\varphi = 0 \!\, .$

Pri tem tudi kot $\varphi$ ni določen, saj ničelni vektor nima smeri, privzamemo pa, da je pravokoten na enotski vektor, oziroma na vse vektorje, kakor tudi sam nase.

Normalizacija vektorja

Vsak neničelni vektor $\vec\mathbf{u}$ lahko zapišemo kot skalarni produkt njegove norme (dolžine) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom:

$\vec\mathbf{u} = \|\vec\mathbf{u}\| \cdot \mathbf\hat{e} \!\, ,$

tako da je normalizíran véktor (verzor ali enôtski véktor sméri véktorja) $\mathbf\hat{u}$ neničelnega vektorja $\vec\mathbf{u}$ enotski vektor z enako smerjo in smislom kot $\vec\mathbf{u}$:

$\vec\mathbf{u}^{0} \equiv \vec\mathbf{u}_{0} \equiv \mathbf\hat{u} = \frac{1}{\|\vec\mathbf{u}\|} \cdot \vec\mathbf{u} = \frac{\vec\mathbf{u}}{\|\vec\mathbf{u}\|} = \frac{\vec\mathbf{u}}{u} ; \qquad \|\vec\mathbf{u}\| \ne 0 \!\, \vee \vec\mathbf{u} \ne \vec\mathbf{0},$

kjer je $\|\vec\mathbf{u}\|$ norma (ali dolžina) vektorja $\vec\mathbf{u}$, $\vec\mathbf{0}$ pa ničelni vektor. Izraz normaliziran vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.

Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi baze. Vsak vektor v prostoru lahko zapišemo kot linearno kombinacijo enotskih vektorjev. Kot baze največkrat srečamo kartezične, polarne, valjne (cilindrične) in krogelne (sferne) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na simetrijo koordinatnega sistema.

Kartezične koordinate

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi $x$, $y$ in $z$, oziroma, ki ležijo na oseh, imenujejo vektorji koordinatnega sistema. Njihove koordinate so:

$\mathbf\hat{i} = (1,0,0), \,\, \mathbf\hat{j} = (0,1,0), \,\, \mathbf\hat{k} = (0,0,1) \,\, ,$

ali zapisane v stolpcih:

$\mathbf\hat{i} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{j} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{k} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \,\, .$

Običajno jih označujemo z normalnim vektorskim zapisom (kot $\mathbf{i}$, $\vec\mathbf{i}$ ali $\vec{i}$) in ne s strešicami. Večinoma je privzeto da so $\vec\mathbf{i}$, $\vec\mathbf{j}$ in $\vec\mathbf{k}$ (ali $\vec{i}, \vec{j}$ in $\vec{k}$) vektorji kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi $(\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z})$, $(\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3})$, $(\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z})$ ali $(\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3})$ z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za indekse $i, j, k$, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled standardne baze.

Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev $\vec\mathbf{i}$, $\vec\mathbf{j}$ in $\vec\mathbf{k}$, so tri njegove skalarne komponente »smerni kosinusi«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način lahko opišemo usmerjenost (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segment usmerjene osi.

Valjne koordinate

Enotski vektorji, primerni za valjno (cilindrično) simetrijo, so:

• $\mathbf\hat{s}$ (označbi tudi $\mathbf\hat{r}$ ali $\boldsymbol{\hat \rho}$), razdalja od osi simetrije,
• $\boldsymbol\hat \phi$, kot, merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi $x$, in
• $\mathbf\hat{z}$.

S kartezično bazo $\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z}$ so povezane z:

$\mathbf\hat{s} = \cos \phi\mathbf\hat{x} + \sin \phi\mathbf\hat{y} \!\, ,$

$\boldsymbol{\hat \phi} = -\sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} \!\, ,$

$\mathbf\hat{z}=\mathbf\hat{z} \!\, .$

Treba je omeniti da sta $\mathbf\hat{s}$ in $\boldsymbol{\hat \phi}$ funkciji $\phi\!\,$ in po smeri nista konstantni. Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej Jacobijeva matrika. Odvodi po $\phi\,\,$ so, od tega dva neničelna:

$\frac{\partial \mathbf\hat{s}} {\partial \phi} = -\sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} = \boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,$

$\frac{\partial \boldsymbol{\hat \phi}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \phi\mathbf\hat{y} = -\mathbf\hat{s} \!\, ,$

$\frac{\partial \mathbf\hat{z}} {\partial \phi} = \vec\mathbf{0} \!\, .$

Krogelne koordinate

Enotski vektorji, primerni za krogelno (sferno) simetrijo, so:

• $\mathrm{\hat{r}}$, radialna razdalja od izhodišča,
• $\boldsymbol{\hat{\phi}}$, kot v ravnini x-y, merjen v nasprotni smeri od urinih kazalcev od pozitivne osi x, in
• $\boldsymbol{\hat \theta}$, kot od pozitivne osi z.

Da je degeneracija čim manjša, je polarni kot običajno $0\leq\theta\leq 180^\circ$. Posebej je pomembno poudariti v kakšnem smislu se rabi poljubna urejena trojica v krogelnih koordinatah, saj sta vlogi $\boldsymbol{\hat \phi}$ in $\boldsymbol{\hat \theta}$ velikokrat zamenjani. Tukaj se rabi ameriški dogovor o poimenovanju. Tako je azimutni kot $\phi\!\,$ enak kot v valjnih koordinatah. Povezave s kartezično bazo so:

$\mathbf\hat{r} = \sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} + \sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} + \cos \theta\mathbf\hat{z} \!\, ,$

$\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \sin \theta\mathbf\hat{z} \!\, ,$

$\boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} \!\, .$

Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od $\phi\!\,$ kot od $\theta\!\,$, tako da obstaja 6 možnih odvodov, od tega 5 neničelnih:

$\frac{\partial \mathbf\hat{r}} {\partial \phi} = -\sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{x} + \sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{y} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,$

$\frac{\partial \mathbf\hat{r}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \sin \theta\mathbf\hat{z}= \boldsymbol{\hat \theta} \!\, ,$

$\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \phi} =-\cos \theta \sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \theta \cos \phi\mathbf\hat{y} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, ,$

$\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \theta \sin \phi\mathbf\hat{y} - \cos \theta\mathbf\hat{z} = -\mathbf\hat{r} \!\, ,$

$\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf\hat{x} - \sin \phi\mathbf\hat{y} = -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}} - \sin \theta\mathbf\hat{r} \!\, ,$

$\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \theta} = \vec\mathbf{0} \!\, .$

Krivočrtne koordinate

V splošnem lahko opišemo koordinatni sistem s pomočno linearno neodvisnih enotskih vektorjev $\mathbf\hat{e}_{n}$, ki so enaki prostostni stopnji prostora. Za običajni trirazsežni prostor jih lahko označimo kot $\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3}$. Skoraj vedno je priporočljivo da je sistem po definiciji ortonormalen in desnosučen:

$\mathbf\hat{e}_{i} \cdot \mathbf\hat{e}_{j} = \delta_{ij} \!\, ,$

$\mathbf\hat{e}_{1} \cdot (\mathbf\hat{e}_{2} \times \mathbf\hat{e}_{3}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \!\, ,$

pri čemer je $\delta_{ij}$ Kroneckerjev simbol delta.

Glej tudi

• krivočrtne koordinate

Viri

• Bronštejn, Ilja Nikolajevič; Semendjajev, Konstantin Adolfovič (1978). Matematični priročnik (5. ponatis izd.). Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. COBISS 205107. 
• Vidav, Ivan (1978). Višja matematika I. (6. izdaja izd.). Ljubljana: DMFA. COBISS 4787712.