Simetrična grupa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Cayleyjeva tabela simetrične grupe S4
Cayleyjeva tabela simetrične grupe S3
(multiplikacijska tabela permutacijskih matrik)

To so položaji šestih matrik:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg
Samo enotske matrike so simetrične glede na glavno diagonalo, to pa pomeni, da simetrična grupa ni Abelova.
Simetrične grupe ne smemo zamenjevati s simetrijsko grupo

Simetrična grupa je v matematiki grupa nad končno množico n \, simbolov, katere elementi so permutacije teh n \, simbolov in za katere je grupna operacija kompozicija teh permutacij. Permutacije so obravnavane kot bijektivne funkcije iz množice simbolov v sebe [1]. Čeprav lahko simetrično grupo definiramo za neskončne množice, se bomo tukaj ukvarjali samo s končnimi simetričnimi grupami. V zvezi s tem pa z njihovo uporabo, elementi, njihovimi konjugacijami, končnimi prezentacijami ter njihovimi podgrupami.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Simetrična grupa nad končno množico X \, je grupa, katere elementi so bijektivne funkcije iz X \, v X \, in grupna operacija je kompozicija funkcij. Za končno množico se izrazi permutiranje in bijektivne funkcije nanašajo na isto operacijo, ki je tukaj preureditev. Simetrična grupa stopnje n \, je simetrijska grupa nad množico X = {1, 2, …, n}

Simetrično grupo nad množico X \, označujemo na različne načine kot so SX, \mathfrak{S}_X, ΣX, and Sym(X).[1] Kadar je X \, množica {1, 2, …, n} lahko simetrično grupo označimo tudi kot Sn,[1] \mathfrak{S}_n, Σn in Sym(n).

Simetrična grupa nad neskončnimi množicami se obnašajo popolnoma drugače kot simetrijske grupe nad končnimi množicami.

Simetrična grupa nad množico n \, elementov ima red n! [2]. Je Abelova grupa, če in samo, če je n ≤ 2. Za n = 0 in n = 1(prazna množica in množica z enim elementom) je simetrijska grupa trivialna grupa (ker je 0! = 1! = 1) in v tem primeru je alternirajoča grupa enaka simetrijski grupi. Grupa Sn je rešljiva grupa, če je in samo, če je n ≤ 4. to je tudi bistven del preizkusa Abel-Ruffinijevega izreka. To kaže na to, da za vsak n>4 obstojajo polinomi s stopnjo n, ki niso rešljivi s koreni. To pomeni, da rešitev ne moremo izraziti s končnim številom seštevanj, množenj, deljenj in iskanja korenov na koeficientih polinoma.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 1,2 Jacobson (2009), s. 31
  2. ^ Jacobson (2009), s. 32. izrek 1.1.