Obratna Fibonaccijeva konstanta

Obratna Fibonaccijeva konstanta (oznaka ψ) je v matematiki konstanta in je določena kot vsota obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil:

$\psi = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \cdots \!\, .$

Razmerje zaporednih členov vsote konvergira k obratni vrednosti števila zlatega reza Φ. Ker je ta manjša od 1, d'Alembertov kriterij pokaže, da vsota konvergira.

Vrednost ψ je približno (OEIS A079586):

$\psi \approx 3,359885666243177553172011302918927179688905133731 \dots \!\,$

Ni znana nobena sklenjena enačba za ψ. Gosper je opisal algoritem za hitri izračun njenih približkov. ψ je iracionalno število. To so domnevali Erdős, Graham in Carlitz, dokazal pa Richard André-Jeannin leta 1989.

Verižni ulomek konstante je (OEIS A079587):

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \cdots ] \!\, .$

Ker konstanta ψ ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang, Obratna Fibonaccijeva konstanta na MathWorld (v angleščini)