Obratna Fibonaccijeva konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Obratna Fibonaccijeva konstanta (oznaka ψ) je v matematiki konstanta in je določena kot vsota obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil:

\psi = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = \frac{1}{1} +  \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \cdots \!\, .

Razmerje zaporednih členov vsote konvergira k obratni vrednosti števila zlatega reza Φ. Ker je ta manjša od 1, d'Alembertov kriterij pokaže, da vsota konvergira.

Vrednost ψ je približno (OEIS A079586):

\psi \approx 3,359885666243177553172011302918927179688905133731 \dots \!\,

Ni znana nobena sklenjena enačba za ψ. Gosper je opisal algoritem za hitri izračun njenih približkov.[opomba 1][1] ψ je iracionalno število. To so domnevali Erdős, Graham in Carlitz, dokazal pa Richard André-Jeannin leta 1989.[2]

Neskončni verižni ulomek obratne Fibonaccijeve konstante je (OEIS A079587):

\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \cdots ] \!\, .

Ker obratna Fibonaccijeva konstanta ψ ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Opombe[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Vrsta vsote obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil da za k členov v razvoju O(k) decimalnih števk, Gosperjeva vrsta da O(k2) števk.

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]