Möbiusov trak

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Möbiusov trak

Möbiusov trák [mébijusov] (oz. Möbiusova ploskev) je v topologiji (prva odkrita) enostranska in neusmerjena ploskev z robom. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu, ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing. Möbiusov trak je zgled za neorientabilno ploskev. V vsaki točki lahko postavimo dve normali, ne moremo pa na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če stopimo nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravnamo po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napotimo po njegovem ravniku, se bomo vrnili v začetno točko, toda obrnjeni navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž poti in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku dobimo, če ga rišemo v parametričnih koordinatah:

 x (u, v) = 1 + {v\over 2} \cos \left( {u\over 2}\right) \cos u
 y (u, v) = 1 + {v\over 2} \cos \left( {u\over 2}\right) \sin u \qquad
     0 < u < 2 \pi
 z (u, v) = {v\over 2} \sin \left( {u\over 2}\right) \qquad
     -1 < v < 1 \; .

S tem dobimo Möbiusov trak širine 1, katerega središčni krog ima polmer 1, leži na ravnini x-y in ima središče v (0,0,0). Parameter u teče okoli traku, v pa od enega robu do drugega.

V cilindričnih polarnih koordinatah (r, θ, z) lahko Möbiusov trak zapišemo z enačbo:

 \log r \sin \left( {\theta\over 2} \right) = z \cos \left( {\theta\over 2} \right) \; .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]